Frihetsgrader i statistikk og matematikk
Monty Rakusen / Getty Images
I statistikk brukes frihetsgradene til å definere antall uavhengige størrelser som kan tilordnes en statistisk fordeling. Dette tallet refererer vanligvis til et positivt heltall som indikerer mangelen på begrensninger på en persons evne til å beregne manglende faktorer fra statistiske problemer.
Frihetsgrader fungerer som variabler i den endelige beregningen av en statistikk og brukes til å bestemme utfallet av ulike scenarier i et system, og i matematikk definerer frihetsgrader antall dimensjoner i et domene som er nødvendig for å bestemme den fulle vektor .
For å illustrere begrepet en grad av frihet vil vi se på en grunnleggende beregning angående prøvegjennomsnittet, og for å finne gjennomsnittet av en liste med data legger vi til alle dataene og deler på det totale antallet verdier.
En illustrasjon med en prøvegjennomsnitt
Anta for et øyeblikk at vi kjenner til mener av et datasett er 25 og at verdiene i dette settet er 20, 10, 50 og ett ukjent tall. Formelen for et eksempelgjennomsnitt gir oss ligningen (20 + 10 + 50 + x)/4 = 25 , hvor x betegner det ukjente, ved å bruke noen grunnleggende algebra , kan man da fastslå at det manglende tallet, x , er lik 20.
La oss endre dette scenariet litt. Igjen antar vi at vi vet at gjennomsnittet av et datasett er 25. Denne gangen er imidlertid verdiene i datasettet 20, 10 og to ukjente verdier. Disse ukjente kan være forskjellige, så vi bruker to forskjellige variabler , x , og Y, for å betegne dette. Den resulterende ligningen er (20 + 10 + x + y)/4 = 25 . Med litt algebra får vi Y = 70- x . Formelen er skrevet i denne formen for å vise at når vi velger en verdi for x , verdien for Y er helt bestemt. Vi har ett valg å ta, og dette viser at det er ett grad av frihet .
Nå skal vi se på en prøvestørrelse på hundre. Hvis vi vet at gjennomsnittet av disse prøvedataene er 20, men ikke vet verdiene til noen av dataene, så er det 99 frihetsgrader. Alle verdier må summeres til totalt 20 x 100 = 2000. Når vi har verdiene til 99 elementer i datasettet, er den siste bestemt.
Student t-score og Chi-Square Distribusjon
Frihetsgrader spiller en viktig rolle når du bruker Student t -poengtabell . Det er faktisk flere t-score distribusjoner. Vi skiller mellom disse fordelingene ved bruk av frihetsgrader.
Her er sannsynlighetsfordeling som vi bruker avhenger av størrelsen på utvalget vårt. Hvis prøvestørrelsen vår er n , da er antallet frihetsgrader n -1. For eksempel vil en prøvestørrelse på 22 kreve at vi bruker raden med t -poengtabell med 21 frihetsgrader.
Bruken av en kjikvadratfordeling krever også bruk av grader av frihet. Her, på identisk måte som med t-score fordeling, bestemmer utvalgsstørrelsen hvilken fordeling som skal brukes. Hvis prøvestørrelsen er n , så er det n-1 grader av frihet.
Standardavvik og avanserte teknikker
Et annet sted hvor frihetsgrader viser seg er i formelen for standardavviket. Denne hendelsen er ikke like åpenbar, men vi kan se den hvis vi vet hvor vi skal lete. Til finne et standardavvik vi ser etter gjennomsnittlig avvik fra gjennomsnittet. Etter å ha trukket gjennomsnittet fra hver dataverdi og kvadreert forskjellene, ender vi opp med å dele med n-1 heller enn n som vi kan forvente.
Tilstedeværelsen av n-1 kommer fra antall frihetsgrader. Siden n dataverdier og prøvegjennomsnittet brukes i formelen n-1 grader av frihet.
Mer avanserte statistiske teknikker bruker mer kompliserte måter å telle frihetsgrader på. Ved beregning av teststatistikken for to gjennomsnitt med uavhengige utvalg av n 1og n toelementer har antallet frihetsgrader en ganske komplisert formel. Det kan estimeres ved å bruke den minste av n1-1 og nto-1
Et annet eksempel på en annen måte å telle frihetsgradene på kommer med en F test. Ved å gjennomføre en F test vi har k prøver hver av størrelse n — frihetsgradene i telleren er k -1 og i nevneren er k ( n -1).