Introduksjon til vektormatematikk

Tatiana Kolesnikova / Getty Images

Dette er en grunnleggende, men forhåpentligvis ganske omfattende, introduksjon til arbeid med vektorer. Vektorer manifesterer seg på en lang rekke måter fra forskyvning, hastighet og akselerasjon til krefter og felt. Denne artikkelen er viet matematikken til vektorer; deres anvendelse i spesifikke situasjoner vil bli behandlet andre steder.

Vektorer og skalarer

EN vektor mengde , eller vektor , gir informasjon om ikke bare størrelsen, men også retningen på mengden. Når du gir veibeskrivelse til et hus, er det ikke nok å si at det er 10 mil unna, men retningen til disse 10 milene må også oppgis for at informasjonen skal være nyttig. Variabler som er vektorer vil bli indikert med en fet skriftvariabel, selv om det er vanlig å se vektorer merket med små piler over variabelen.

Akkurat som vi ikke sier at det andre huset er -10 miles unna, er størrelsen på en vektor alltid et positivt tall, eller snarere den absolutte verdien av 'lengden' til vektoren (selv om mengden kanskje ikke er en lengde, det kan være en hastighet, akselerasjon, kraft osv.) Et negativt foran en vektor indikerer ikke en endring i størrelsen, men snarere i retningen til vektoren.

I eksemplene ovenfor er avstand den skalære mengden (10 miles) men forskyvning er vektormengden (10 mil mot nordøst). Tilsvarende er hastighet en skalar størrelse mens hastighet er a vektor mengde.

EN enhetsvektor er en vektor som har en størrelse på én. En vektor som representerer en enhetsvektor er vanligvis også fet skrift, selv om den vil ha en karat ( ^ ) over den for å indikere enhetsnaturen til variabelen. Enhetsvektoren x , når skrevet med en karat, leses vanligvis som 'x-hat' fordi karaten ser ut som en hatt på variabelen.

De null vektor , eller null vektor , er en vektor med størrelsesorden null. Det er skrevet som 0 i denne artikkelen.

Vektorkomponenter

Vektorer er generelt orientert på et koordinatsystem, hvor den mest populære er det todimensjonale kartesiske planet. Det kartesiske planet har en horisontal akse som er merket x og en vertikal akse merket y. Noen avanserte anvendelser av vektorer i fysikk krever bruk av et tredimensjonalt rom, der aksene er x, y og z. Denne artikkelen vil hovedsakelig ta for seg det todimensjonale systemet, selv om konseptene kan utvides med litt forsiktighet til tre dimensjoner uten for mye problemer.

Vektorer i flerdimensjonale koordinatsystemer kan brytes opp i deres komponentvektorer . I det todimensjonale tilfellet resulterer dette i en x-komponent og a y-komponent . Når en vektor brytes inn i dens komponenter, er vektoren en sum av komponentene:

F = F_x + F_Y

theta F_xF_YF

F_x / F = cos theta og F_Y / F = uten theta som gir oss
F_x = F cos theta og F_Y = F uten theta

Merk at tallene her er størrelsen på vektorene. Vi vet retningen til komponentene, men vi prøver å finne størrelsen deres, så vi fjerner retningsinformasjonen og utfører disse skalarberegningene for å finne ut størrelsen. Ytterligere anvendelse av trigonometri kan brukes til å finne andre sammenhenger (som tangenten) som er relatert mellom noen av disse størrelsene, men jeg tror det er nok for nå.

I mange år har den eneste matematikken som en elev lærer, skalarmatematikk. Hvis du reiser 5 miles nord og 5 miles øst, har du reist 10 miles. Ved å legge til skalære mengder ignoreres all informasjon om veibeskrivelsene.

Vektorer manipuleres noe annerledes. Retningen må alltid tas i betraktning når du manipulerer dem.

Legge til komponenter

Når du legger til to vektorer, er det som om du tok vektorene og plasserte dem ende mot ende og laget en ny vektor som løper fra startpunktet til endepunktet. Hvis vektorene har samme retning, betyr dette bare å legge til størrelsene, men hvis de har forskjellige retninger, kan det bli mer komplekst.

Du legger til vektorer ved å dele dem inn i deres komponenter og deretter legge til komponentene, som nedenfor:

en + b = c
en_x + en_Y + b_x + b_Y =
( en_x + b_x ) + ( en_Y + b_Y ) = c_x + c_Y

De to x-komponentene vil resultere i x-komponenten til den nye variabelen, mens de to y-komponentene resulterer i y-komponenten til den nye variabelen.

Egenskaper for vektortilsetning

Rekkefølgen du legger til vektorene i spiller ingen rolle. Faktisk er det flere egenskaper fra skalær addisjon som gjelder for vektoraddisjon:

Identitetsegenskap for vektortilsetning
en + 0 = en
Invers egenskap til vektoraddisjon
en + - en = en - en = 0
Reflekterende egenskap for vektortilsetning
en = en
Kommutativ eiendom av Vector Addisjon
en + b = b + en
Assosiativ egenskap til vektortilsetning
( en + b ) + c = en + ( b + c )
Transitiv egenskap til vektortilsetning
Hvis en = b og c = b , deretter en = c

Den enkleste operasjonen som kan utføres på en vektor er å multiplisere den med en skalar. Denne skalar multiplikasjonen endrer størrelsen på vektoren. Med andre ord, det gjør vektoren lengre eller kortere.

Når du multipliserer ganger med en negativ skalar, vil den resulterende vektoren peke i motsatt retning.

De skalært produkt av to vektorer er en måte å multiplisere dem sammen for å få en skalar mengde. Dette er skrevet som en multiplikasjon av de to vektorene, med en prikk i midten som representerer multiplikasjonen. Som sådan kalles det ofte prikkprodukt av to vektorer.

For å beregne punktproduktet til to vektorer, vurderer du vinkelen mellom dem. Med andre ord, hvis de delte det samme utgangspunktet, hva ville være vinkelmålingen ( theta ) mellom dem. Punktproduktet er definert som:

en * b = ab cos theta

ab abba

I tilfeller når vektorene er vinkelrette (eller theta = 90 grader), cos theta vil være null. Derfor, prikkproduktet til vinkelrette vektorer er alltid null . Når vektorene er parallell (eller theta = 0 grader), cos theta er 1, så skalarproduktet er bare produktet av størrelsene.

Disse fine små faktaene kan brukes til å bevise at hvis du kjenner komponentene, kan du eliminere behovet for theta helt med den (todimensjonale) ligningen:

en * b = en_xb_x + en_Yb_Y

De vektor produkt er skrevet i formen en x b , og kalles vanligvis kryssprodukt av to vektorer. I dette tilfellet multipliserer vi vektorene og i stedet for å få en skalar mengde, vil vi få en vektormengde. Dette er den vanskeligste av vektorberegningene vi skal forholde oss til, som det er ikke kommutativ og innebærer bruk av det fryktede høyrehåndsregel , som jeg kommer til om kort tid.

Beregning av størrelsen

Igjen tar vi for oss to vektorer tegnet fra samme punkt, med vinkelen theta mellom dem. Vi tar alltid den minste vinkelen, så theta vil alltid være i området fra 0 til 180, og resultatet vil derfor aldri være negativt. Størrelsen på den resulterende vektoren bestemmes som følger:

Hvis c = en x b , deretter c = ab uten theta

Vektorproduktet til parallelle (eller antiparallelle) vektorer er alltid null

Vektorens retning

Vektorproduktet vil være vinkelrett på planet laget av disse to vektorene. Hvis du ser for deg at planet er flatt på et bord, blir spørsmålet om den resulterende vektoren går opp (vår 'ut' av bordet, fra vårt perspektiv) eller ned (eller 'inn' i bordet, fra vårt perspektiv).

Den fryktede høyrehåndsregelen

For å finne ut av dette, må du bruke det som kalles høyrehåndsregel . Da jeg studerte fysikk på skolen, avskyr høyrehåndsregelen. Hver gang jeg brukte den, måtte jeg trekke frem boken for å finne ut hvordan den fungerte. Forhåpentligvis vil beskrivelsen min være litt mer intuitiv enn den jeg ble introdusert for.

Hvis du har en x b du vil plassere høyre hånd langs lengden av b slik at fingrene (unntatt tommelen) kan bøye seg for å peke langs en . Med andre ord, du prøver liksom å lage vinkelen theta mellom håndflaten og fire fingre på høyre hånd. Tommelen, i dette tilfellet, vil stikke rett opp (eller ut av skjermen, hvis du prøver å gjøre det opp til datamaskinen). Knokene dine vil være omtrent på linje med startpunktet til de to vektorene. Presisjon er ikke avgjørende, men jeg vil at du skal få ideen siden jeg ikke har et bilde av dette å gi.

Hvis du derimot vurderer b x en , vil du gjøre det motsatte. Du vil ta med høyre hånd en og pek fingrene med b . Hvis du prøver å gjøre dette på dataskjermen, vil du finne det umulig, så bruk fantasien. Du vil oppdage at i dette tilfellet peker din fantasifulle tommelen inn på dataskjermen. Det er retningen til den resulterende vektoren.

Høyreregelen viser følgende forhold:

en x b = - b x en

cabc

c_x = en_Yb_Med - en_Medb_Y
c_Y = en_Medb_x - en_xb_Med
c_Med = en_xb_Y - en_Yb_x

ab c_xc_Y c

Siste ord

På høyere nivåer kan vektorer bli ekstremt komplekse å jobbe med. Hele kurs på college, som lineær algebra, bruker mye tid på matriser (som jeg vennligst unngått i denne introduksjonen), vektorer og vektorrom . Det detaljnivået er utenfor rammen av denne artikkelen, men dette bør gi grunnlaget som er nødvendig for det meste av vektormanipulasjonen som utføres i fysikkklasserommet. Hvis du har tenkt å studere fysikk i større dybde, vil du bli introdusert for de mer komplekse vektorkonseptene etter hvert som du fortsetter gjennom utdanningen din.