Frihetsgrader for uavhengighet av variabler i toveistabell

For å se hvorfor ( r - 1)( c - 1) er riktig tall, vil vi undersøke denne situasjonen nærmere. Anta at vi kjenner marginaltotalene for hvert av nivåene til våre kategoriske variabler. Med andre ord, vi vet totalen for hver rad og totalen for hver kolonne. For den første raden er det c kolonner i tabellen vår, så det er det c celler. Når vi først kjenner verdiene til alle unntatt én av disse cellene, så fordi vi vet summen av alle cellene, er det et enkelt algebraproblem å bestemme verdien av den gjenværende cellen. Hvis vi skulle fylle ut disse cellene i bordet vårt, kunne vi gå inn c - 1 av dem fritt, men da bestemmes gjenværende celle av totalen av raden. Slik er det c - 1 frihetsgrad for første rad.

Vi fortsetter på denne måten for neste rad, og det er igjen c - 1 frihetsgrad. Denne prosessen fortsetter til vi kommer til nest siste rad. Hver av radene unntatt den siste bidrar c - 1 frihetsgrad til totalen. Når vi har alle unntatt den siste raden, så fordi vi kjenner kolonnesummen, kan vi bestemme alle oppføringene i den siste raden. Dette gir oss r - 1 rad med c - 1 frihetsgrad i hver av disse, for totalt ( r - 1)( c - 1) grader av frihet.

Eksempel

Vi ser dette med følgende eksempel. Anta at vi har en toveistabell med to kategoriske variabler. En variabel har tre nivåer og den andre har to. Videre, anta at vi kjenner rad- og kolonnetotalene for denne tabellen:

Formelen forutsier at det er (3-1)(2-1) = 2 frihetsgrader. Vi ser dette som følger. Anta at vi fyller ut cellen øverst til venstre med tallet 80. Dette vil automatisk bestemme hele den første raden med oppføringer:

Hvis vi nå vet at den første oppføringen i den andre raden er 50, er resten av tabellen fylt ut, fordi vi vet summen av hver rad og kolonne:

Tabellen er helt fylt ut, men vi hadde kun to frie valg. Når disse verdiene var kjent, var resten av tabellen fullstendig bestemt.

Selv om vi vanligvis ikke trenger å vite hvorfor det er så mange frihetsgrader, er det godt å vite at vi egentlig bare bruker begrepet frihetsgrader på en ny situasjon.