Hvordan klassifisere kurtosis av distribusjoner

Kurtosis beskriver de forskjellige typene topper som sannsynlighetsfordelinger kan ha.

ThoughtCo

Fordelinger av data og sannsynlighetsfordelinger har ikke alle samme form. Noen er asymmetriske og skjevt til venstre eller høyre. Andre distribusjoner er bimodal og har to topper. En annen funksjon å vurdere når man snakker om en fordeling er formen på halene til fordelingen helt til venstre og ytterst til høyre. Kurtosis er et mål på tykkelsen eller tyngden av halene til en fordeling. Kurtosis av en fordeling er i en av tre kategorier av klassifisering:

• Mesokurtic
• Leptokurtic
• Platykurtisk

Vi vil vurdere hver av disse klassifiseringene etter tur. Vår undersøkelse av disse kategoriene vil ikke være så nøyaktig som vi kunne vært hvis vi brukte den teknisk matematiske definisjonen av kurtosis.

Mesokurtic

Kurtosis måles vanligvis med hensyn til normal distribusjon . En fordeling som har haler formet på omtrent samme måte som enhver normalfordeling, ikke bare standard normalfordeling , sies å være mesokurtisk. Kurtose av en mesokurtisk fordeling er verken høy eller lav, snarere anses den å være en baseline for de to andre klassifiseringene.

I tillegg normalfordelinger , binomialfordelinger for hvilke s er nær 1/2 anses å være mesokurtisk.

Leptokurtic

En leptokurtisk fordeling er en som har kurtosis større enn en mesokurtisk fordeling. Leptokurtiske fordelinger identifiseres noen ganger av topper som er tynne og høye. Halene til disse fordelingene, både til høyre og venstre, er tykke og tunge. Leptokurtiske distribusjoner er navngitt av prefikset 'lepto' som betyr 'mager'.

Det er mange eksempler på leptokurtiske distribusjoner. En av de mest kjente leptokurtiske distribusjonene er Elevens t-fordeling .

Platykurtisk

Den tredje klassifiseringen for kurtosis er platykurtic. Platykurtiske distribusjoner er de som har slanke haler. Mange ganger har de en topp lavere enn en mesokurtisk fordeling. Navnet på disse typer distribusjoner kommer fra betydningen av prefikset 'platy' som betyr 'bred'.

Alle uniform distribusjonene er platykurtiske. I tillegg til dette er diskret sannsynlighetsfordeling fra en enkelt vending av en mynt er platykurtisk.

Beregning av Kurtosis

Disse klassifiseringene av kurtosis er fortsatt noe subjektive og kvalitative. Selv om vi kanskje kan se at en fordeling har tykkere haler enn en normalfordeling, hva om vi ikke har grafen til en normalfordeling å sammenligne med? Hva om vi vil si at en distribusjon er mer leptokurtisk enn en annen?

For å svare på denne typen spørsmål trenger vi ikke bare en kvalitativ beskrivelse av kurtosis, men et kvantitativt mål. Formelen som brukes er μ₄/s⁴hvor μ₄er Pearsons fjerde øyeblikk om gjennomsnittet og sigma er standardavviket.

Overflødig Kurtosis

Nå som vi har en måte å beregne kurtosis på, kan vi sammenligne verdiene som er oppnådd i stedet for former. Normalfordelingen er funnet å ha en kurtose på tre. Dette blir nå vårt grunnlag for mesokurtiske distribusjoner. En fordeling med kurtose større enn tre er leptokurtisk og en fordeling med kurtose mindre enn tre er platykurtisk.

Siden vi behandler en mesokurtisk fordeling som en baseline for våre andre fordelinger, kan vi trekke tre fra standardberegningen for kurtosis. Formelen μ₄/s⁴- 3 er formelen for overflødig kurtose. Vi kan deretter klassifisere en fordeling fra dens overskytende kurtosis:

• Mesokurtiske fordelinger har overskytende kurtose på null.
• Platykurtiske distribusjoner har negativ overskytende kurtosis.
• Leptokurtiske distribusjoner har positiv overskytende kurtose.

En merknad om navnet

Ordet 'kurtosis' virker rart ved første eller andre lesing. Det er faktisk fornuftig, men vi må kunne gresk for å gjenkjenne dette. Kurtosis er avledet fra en translitterasjon av det greske ordet kurtos. Dette greske ordet har betydningen 'buet' eller 'bulende', noe som gjør det til en passende beskrivelse av konseptet kjent som kurtosis.