Hva er standard normalfordeling?

Klokkekurver med forskjellige midler og standardavvik har samme generelle form, men er forskjellige i sentre og spredning. (C.K.Taylor)

Bell kurver vises gjennom statistikken. Ulike mål som frødiametere, lengder på fiskefinner, poengsum på SAT og vekter av individuelle ark med en pakke papir, danner alle klokkekurver når de er tegnet. Den generelle formen til alle disse kurvene er den samme. Men alle disse kurvene er forskjellige fordi det er svært usannsynlig at noen av dem deler samme gjennomsnitt eller standardavvik. Klokkekurver med store standardavvik er brede, og klokkekurver med små standardavvik er tynne. Klokkekurver med større middel er forskjøvet mer til høyre enn de med mindre middel

Et eksempel

For å gjøre dette litt mer konkret, la oss late som om vi måler diameteren på 500 maiskjerner. Deretter registrerer, analyserer og grafer vi disse dataene. Det er funnet at datasettet er formet som en klokkekurve og har et gjennomsnitt på 1,2 cm med et standardavvik på ,4 cm. Anta nå at vi gjør det samme med 500 bønner, og vi finner ut at de har en gjennomsnittlig diameter på 0,8 cm med et standardavvik på 0,04 cm.

Klokkekurvene fra begge disse datasettene er plottet ovenfor. Den røde kurven tilsvarer maisdataene og den grønne kurven tilsvarer bønnedataene. Som vi kan se, er sentrene og spredningene til disse to kurvene forskjellige.

Dette er helt klart to forskjellige klokkekurver. De er forskjellige fordi deres midler og standardavvik samsvarer ikke. Siden alle interessante datasett vi kommer over kan ha et hvilket som helst positivt tall som standardavvik, og et hvilket som helst tall for et gjennomsnitt, skraper vi egentlig bare overflaten av en uendelig antall klokkekurver. Det er mange kurver og altfor mange å forholde seg til. Hva er løsningen?

En veldig spesiell klokkekurve

Et mål med matematikk er å generalisere ting når det er mulig. Noen ganger er flere individuelle problemer spesielle tilfeller av et enkelt problem. Denne situasjonen med klokkekurver er en flott illustrasjon på det. I stedet for å håndtere et uendelig antall klokkekurver, kan vi relatere dem alle til en enkelt kurve. Denne spesielle klokkekurven kalles standard klokkekurve eller standard normalfordeling.

Standardklokkekurven har et gjennomsnitt på null og et standardavvik på én. Enhver annen klokkekurve kan sammenlignes med denne standarden ved hjelp av enenkel beregning.

Funksjoner ved standard normalfordeling

Alle egenskapene til enhver klokkekurve holder for standard normalfordelingen.

• Standard normalfordelingen har ikke bare et gjennomsnitt på null, men også en median og modus på null. Dette er midten av kurven.
• Standard normalfordeling viser speilsymmetri ved null. Halvparten av kurven er til venstre for null og halvparten av kurven er til høyre. Hvis kurven ble brettet langs en vertikal linje ved null, ville begge halvdelene passe perfekt.
• Standard normalfordelingen følger 68-95-99.7-regelen, som gir oss en enkel måte å anslå følgende:
  • Omtrent 68 % av alle dataene er mellom -1 og 1.
  • Omtrent 95 % av alle dataene er mellom -2 og 2.
  • Omtrent 99,7 % av alle dataene er mellom -3 og 3.

Hvorfor vi bryr oss

På dette tidspunktet kan vi spørre: Hvorfor bry seg med en standard klokkekurve? Det kan virke som en unødvendig komplikasjon, men standard klokkekurven vil være fordelaktig når vi fortsetter med statistikk.

Vi vil finne at en type problemer i statistikk krever at vi finner områder under deler av en hvilken som helst klokkekurve vi møter. Klokkekurven er ikke en fin form for områder. Det er ikke som et rektangel eller høyre trekant som har lett områdeformler . Å finne områder av deler av en klokkekurve kan være vanskelig, faktisk så vanskelig at vi må bruke en viss kalkulus. Hvis vi ikke standardiserer klokkekurvene våre, må vi gjøre noen beregninger hver gang vi vil finne et område. Hvis vi standardiserer kurvene våre, er alt arbeidet med å beregne arealer gjort for oss.