Hva er øyeblikk i statistikk?
Compassionate Eye/Foundation/Robert Daly/OJO Images/Getty Images
Momenter i matematisk statistikk innebærer en grunnleggende beregning. Disse beregningene kan brukes til å finne en sannsynlighetsfordelings gjennomsnitt, varians og skjevhet.
Anta at vi har et sett med data med totalt n diskret poeng. En viktig beregning, som faktisk er flere tall, kalles s øyeblikk. De s øyeblikk av datasettet med verdier x 1, x to, x 3, ... , xn er gitt av formelen:
( x 1 s + x to s + x 3 s + ... + xns )/ n
Å bruke denne formelen krever at vi er forsiktige med rekkefølgen av operasjoner. Vi må gjøre eksponentene først, addere og deretter dele denne summen med n det totale antallet dataverdier.
En merknad om begrepet 'Øyeblikk'
Begrepet øyeblikk er hentet fra fysikk. I fysikk beregnes momentet til et system av punktmasser med en formel som er identisk med den ovenfor, og denne formelen brukes til å finne massesenteret til punktene. I statistikk er verdiene ikke lenger masser, men som vi vil se, måler øyeblikk i statistikk fortsatt noe i forhold til midten av verdiene.
Første øyeblikk
For første øyeblikk satte vi s = 1. Formelen for det første øyeblikket er således:
( x 1xto+ x 3+ ... + xn )/ n
Dette er identisk med formelen for prøven mener .
Det første øyeblikket av verdiene 1, 3, 6, 10 er (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Andre øyeblikk
For andre øyeblikk setter vi s = 2. Formelen for det andre øyeblikket er:
( x 1to+ x toto+ x 3to+ ... + xn to)/ n
Det andre øyeblikket av verdiene 1, 3, 6, 10 er (1to+ 3to+ 6to+ 10to) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36,5.
Tredje øyeblikk
For tredje øyeblikk setter vi s = 3. Formelen for det tredje øyeblikket er:
( x 13+ x to3+ x 33+ ... + xn 3)/ n
Det tredje øyeblikket av verdiene 1, 3, 6, 10 er (13+ 33+ 63+ 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Høyere momenter kan beregnes på lignende måte. Bare bytt ut s i formelen ovenfor med tallet som angir ønsket øyeblikk.
Øyeblikk om midlere
En relatert idé er den av s øyeblikk om gjennomsnittet. I denne beregningen utfører vi følgende trinn:
- Beregn først gjennomsnittet av verdiene.
- Deretter trekker du dette gjennomsnittet fra hver verdi.
- Deretter hever hver av disse forskjellene til s kraften.
- Legg nå tallene fra trinn #3 sammen.
- Del til slutt denne summen på antall verdier vi startet med.
Formelen for s øyeblikk om gjennomsnittet m av verdiene verdiene x 1, x to, x 3, ..., xn er gitt av:
ms = (( x 1- m ) s + ( x to- m ) s + ( x 3- m ) s + ... + ( xn - m ) s )/ n
Første øyeblikk om midlere
Det første øyeblikket om gjennomsnittet er alltid lik null, uansett hvilket datasett vi jobber med. Dette kan sees i følgende:
m 1= (( x 1- m ) + ( x to- m ) + ( x 3- m ) + ... + ( xn - m ))/ n = (( x 1+ x to+ x 3+ ... + xn ) - nm )/ n = m - m = 0.
Andre øyeblikk om midlere
Det andre øyeblikket om gjennomsnittet oppnås fra formelen ovenfor ved innstilling s = 2:
m to= (( x 1- m )to+ ( x to- m )to+ ( x 3- m )to+ ... + ( xn - m )to)/ n
Denne formelen tilsvarer den for prøvevariansen.
Tenk for eksempel på settet 1, 3, 6, 10. Vi har allerede beregnet gjennomsnittet av dette settet til å være 5. Trekk dette fra hver av dataverdiene for å få forskjeller på:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Vi kvadrerer hver av disse verdiene og legger dem sammen: (-4)to+ (-2)to+ 1to+ 5to= 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Del til slutt dette tallet med antall datapunkter: 46/4 = 11,5
Anvendelser av øyeblikk
Som nevnt ovenfor er det første øyeblikket gjennomsnittet og det andre øyeblikket om gjennomsnittet er prøvenforskjell. Karl Pearson introduserte bruken av det tredje momentet om gjennomsnittet i beregningen skjevhet og det fjerde momentet om gjennomsnittet i beregningen av kurtosis .