Settteori

Hendelser A og B utelukker hverandre. C.K. Taylor

Settteori er et grunnleggende begrep gjennom hele matematikken. Denne grenen av matematikk danner et grunnlag for andre emner.

Intuitivt er et sett en samling av objekter, som kalles elementer. Selv om dette virker som en enkel idé, har det noen vidtrekkende konsekvenser.

Elementer

Elementene i et sett kan egentlig være hva som helst – tall, stater, biler, personer eller til og med andre sett er alle muligheter for elementer. Omtrent alt som kan samles sammen kan brukes til å danne et sett, selv om det er noen ting vi må være forsiktige med.

Like sett

Elementer i et sett er enten i et sett eller ikke i et sett. Vi kan beskrive et sett med en definerende egenskap, eller vi kan liste opp elementene i settet. Rekkefølgen de er oppført er ikke viktig. Så settene {1, 2, 3} og {1, 3, 2} er like sett, fordi de begge inneholder de samme elementene.

To spesialsett

To sett fortjener spesiell omtale. Det første er det universelle settet, vanligvis betegnet I . Dette settet er alle elementene vi kan velge mellom. Dette settet kan være forskjellig fra en innstilling til den neste. For eksempel kan ett universelt sett være settet med reelle tall mens for et annet problem kan det universelle settet være hele tallene {0, 1, 2,...}.

Det andre settet som krever litt oppmerksomhet kalles tomt sett . Det tomme settet er det unike settet er settet uten elementer. Vi kan skrive dette som { } og angi dette settet med symbolet ∅.

Delmengder og kraftsettet

En samling av noen av elementene i et sett EN kalles a delmengde av EN . Vi sier det EN er en undergruppe av B hvis og bare hvis hvert element av EN er også et element av B . Hvis det er et endelig antall n av elementer i et sett, så er det totalt 2 ⁿ undergrupper av EN . Denne samlingen av alle undergruppene av EN er et sett som kalles kraftsett av EN .

Angi operasjoner

Akkurat som vi kan utføre operasjoner som addisjon - på to tall for å få et nytt tall, brukes mengdteorioperasjoner for å danne et sett fra to andre sett. Det er en rekke operasjoner, men nesten alle er sammensatt av følgende tre operasjoner:

• Union – En fagforening betyr en sammenføring. Foreningen av settene EN og B består av elementene som er i enten EN eller B .
• Kryss – Et kryss er der to ting møtes. Skjæringspunktet mellom settene EN og B består av elementene som i begge EN og B .
• Komplement - Komplementet til settet EN består av alle elementene i det universelle settet som ikke er elementer av EN .

Venn Diagrams

Et verktøy som er nyttig for å skildre forholdet mellom ulike sett, kalles et Venn-diagram. Et rektangel representerer det universelle settet for problemet vårt. Hvert sett er representert med en sirkel. Hvis sirklene overlapper hverandre, illustrerer dette skjæringspunktet mellom våre to sett.

Anvendelser av settteori

Mengdelære brukes gjennom hele matematikken. Det brukes som grunnlag for mange delfelt av matematikk. På områdene som gjelder statistikk, er det spesielt brukt i sannsynlighet. Mye av begrepene i sannsynlighet er avledet fra konsekvensene av settteori. Faktisk en måte å si det på sannsynlighetsaksiomer involverer settteori.