Definisjon og bruk av union i matematikk
En operasjon som ofte brukes til å danne nye sett fra gamle kalles union. I vanlig bruk betyr ordet fagforening en sammenføring, for eksempel fagforeninger i organisert arbeidskraft eller Nasjonens tilstand adresse som U.S. President gjør før en felles sesjon av kongressen. I matematisk forstand beholder foreningen av to sett denne ideen om å bringe sammen. Mer presist, foreningen av to sett EN og B er settet av alle elementer x slik at x er en del av settet EN eller x er en del av settet B . Ordet som betyr at vi bruker en forening er ordet 'eller'.
Ordet 'eller'
Når vi bruker ordet 'eller' i daglige samtaler, er det ikke sikkert vi innser at dette ordet brukes på to forskjellige måter. Veien utledes vanligvis fra konteksten til samtalen. Hvis du ble spurt Vil du ha kyllingen eller biffen? den vanlige implikasjonen er at du kan ha det ene eller det andre, men ikke begge deler. Sammenlign dette med spørsmålet: Vil du ha smør eller rømme på bakt potet? Her brukes 'eller' i inkluderende betydning ved at man kunne velge kun smør, kun rømme, eller både smør og rømme.
I matematikk brukes ordet 'eller' i inkluderende betydning. Så uttalelsen, ' x er et element av EN eller et element av B ' betyr at en av de tre er mulig:
- x er et element av rettferdig EN og ikke et element av B
- x er et element av rettferdig B og ikke et element av EN .
- x er en del av begge EN og B . (Vi kan også si det x er et element i skjæringspunktet mellom EN og B
Eksempel
For et eksempel på hvordan foreningen av to sett danner et nytt sett, la oss vurdere settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For å finne foreningen av disse to settene, lister vi ganske enkelt opp hvert element vi ser, og er forsiktig så du ikke dupliserer noen elementer. Tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 er enten i det ene eller det andre settet, derfor er foreningen av EN og B er {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
Notasjon for Union
I tillegg til å forstå begrepene rundt mengteoretiske operasjoner, er det viktig å kunne lese symboler som brukes for å betegne disse operasjonene. Symbolet som brukes for foreningen av de to settene EN og B er gitt av EN ∪ B . En måte å huske symbolet ∪ refererer til union på, er å legge merke til dets likhet med en stor U, som er en forkortelse for ordet union. Vær forsiktig, for symbolet for forening er veldig likt symbolet for kryss . Den ene oppnås fra den andre ved en vertikal flip.
For å se denne notasjonen i aksjon, se eksemplet ovenfor. Her hadde vi settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Så vi ville skrive settligningen EN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }.
Union med det tomme settet
En grunnleggende identitet som involverer foreningen viser oss hva som skjer når vi tar foreningen av ethvert sett med det tomme settet, betegnet med #8709. Det tomme settet er settet uten elementer. Så å koble dette til et annet sett vil ikke ha noen effekt. Med andre ord, foreningen av ethvert sett med det tomme settet vil gi oss det opprinnelige settet tilbake
Denne identiteten blir enda mer kompakt med bruken av vår notasjon. Vi har identiteten: EN ∪ ∅ = EN .
Union med det universelle settet
For den andre ytterligheten, hva skjer når vi undersøker forening av et sett med universalsettet? Siden det universelle settet inneholder hvert element, kan vi ikke legge til noe annet til dette. Så foreningen eller ethvert sett med det universelle settet er det universelle settet.
Igjen hjelper notasjonen oss til å uttrykke denne identiteten i et mer kompakt format. For ethvert sett EN og det universelle settet I , EN ∪ I = I .
Andre identiteter som involverer unionen
Det er mange flere faste identiteter som innebærer bruk av fagforeningsdriften. Selvfølgelig er det alltid godt å øve på ved å bruke mengdelærens språk. Noen av de viktigste er nevnt nedenfor. For alle sett EN , og B og D vi har:
- Refleksiv eiendom: EN ∪ EN = EN
- Kommutativ egenskap: EN ∪ B = B ∪ EN
- Assosiativ eiendom: ( EN ∪ B ) ∪ D = EN ∪ ( B ∪ D )
- DeMorgans lov I: ( EN ∩ B )C= EN C∪ B C
- DeMorgans lov II: ( EN ∪ B )C= EN C∩ B C