Hva er forskjellen mellom to sett i settteori?

Det røde området av Venn-diagrammet angir settet A - B. C.K. Taylor

Forskjellen på to sett, skrevet EN - B er settet av alle elementer av EN som ikke er elementer av B . Forskjellen operasjonen, sammen med union og kryss, er en viktig og grunnleggende settteoretisk operasjon .

Beskrivelse av forskjellen

Subtraksjon av ett tall fra et annet kan tenkes på mange forskjellige måter. En modell for å hjelpe med å forstå dette konseptet kalles takeaway-modellen subtraksjon . I denne vil oppgaven 5 - 2 = 3 demonstreres ved å starte med fem objekter, fjerne to av dem og telle at det var tre igjen. På samme måte som vi finner forskjellen mellom to tall, kan vi finne forskjellen på to sett.

Et eksempel

Vi skal se på et eksempel på den angitte forskjellen. For å se hvordan forskjellen på to settene danner et nytt sett, la oss vurdere settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For å finne forskjellen EN - B av disse to settene begynner vi med å skrive alle elementene til EN , og deretter ta bort hvert element av EN det er også et element av B . Siden EN deler elementene 3, 4 og 5 med B , dette gir oss den angitte forskjellen EN - B = {1, 2}.

Bestilling er viktig

Akkurat som forskjellene 4 - 7 og 7 - 4 gir oss forskjellige svar, må vi være forsiktige med rekkefølgen vi beregner den angitte forskjellen i. For å bruke et faguttrykk fra matematikk, vil vi si at settoperasjonen av forskjell ikke er kommutativ. Hva dette betyr er at vi generelt ikke kan endre rekkefølgen på forskjellen til to sett og forvente det samme resultatet. Vi kan mer presist angi det for alle sett EN og B , EN - B er ikke lik B - EN .

For å se dette, se tilbake til eksemplet ovenfor. Vi regnet ut det for settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, forskjellen EN - B = {1, 2 }. For å sammenligne dette med B - EN, vi begynner med elementene i B , som er 3, 4, 5, 6, 7, 8, og fjern deretter 3, 4 og 5 fordi disse er felles med EN . Resultatet er B - EN = {6, 7, 8 }. Dette eksemplet viser oss tydelig det A - B er ikke lik B - A .

Komplementet

En slags forskjell er viktig nok til å garantere sitt eget spesielle navn og symbol. Dette kalles komplementet, og det brukes for den angitte forskjellen når første sett er det universelle settet. Komplementet av EN er gitt av uttrykket I - EN . Dette refererer til settet av alle elementer i det universelle settet som ikke er elementer av EN . Siden det er forstått at sett med elementer som vi kan velge mellom er hentet fra det universelle settet, kan vi ganske enkelt si at komplementet til EN er settet som består av elementer som ikke er elementer av EN .

Komplementet til et sett er i forhold til det universelle settet vi jobber med. Med EN = {1, 2, 3} og I = {1, 2 ,3, 4, 5}, komplementet til EN er {4, 5}. Hvis vårt universelle sett er annerledes, si I = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, deretter komplementet til EN {-3, -2, -1, 0}. Sørg alltid for å være oppmerksom på hvilket universalsett som brukes.

Notasjon for komplementet

Ordet 'komplement' begynner med bokstaven C, og derfor brukes dette i notasjonen. Komplementet til settet EN er skrevet som EN ^C. Så vi kan uttrykke definisjonen av komplementet i symboler som: EN ^C= I - EN .

En annen måte som vanligvis brukes for å betegne komplementet til et sett involverer en apostrof, og er skrevet som EN '.

Andre identiteter som involverer forskjellen og komplementer

Det er mange faste identiteter som involverer bruk av forskjellen og komplementerer operasjoner. Noen identiteter kombinerer andre settoperasjoner som f.eks kryss og fagforening . Noen av de viktigste er nevnt nedenfor. For alle sett EN , og B og D vi har:

• EN - EN =∅
• EN - ∅ = EN
• ∅ - EN = ∅
• EN - I = ∅
• ( EN ^C)^C= EN
• DeMorgans lov I: ( EN ∩ B )^C= EN ^C∪ B ^C
• DeMorgans lov II: ( EN ∪ B )^C= EN ^C∩ B ^C