Hva er skjæringspunktet mellom to sett?

Settteori

Det skraverte området representerer skjæringspunktet mellom de to settene A og B. C.K. Taylor

Når man har å gjøre med settteori , er det en rekke operasjoner for å lage nye sett av gamle. En av de vanligste settoperasjonene kalles krysset. Enkelt sagt, skjæringspunktet mellom to sett EN og B er settet av alle elementer som begge EN og B har til felles.

Vi skal se på detaljer som angår skjæringspunktet i settteori. Som vi vil se, er nøkkelordet her ordet 'og'.

Et eksempel

For et eksempel på hvordan skjæringspunktet mellom to sett danner en nytt sett , la oss vurdere settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. For å finne skjæringspunktet mellom disse to settene, må vi finne ut hvilke elementer de har til felles. Tallene 3, 4, 5 er elementer i begge settene, derfor skjæringspunktene til EN og B er {3. 4. 5].

Notasjon for kryss

I tillegg til å forstå begrepene rundt mengteoretiske operasjoner, er det viktig å kunne lese symboler som brukes for å betegne disse operasjonene. Symbolet for kryss er noen ganger erstattet av ordet og mellom to sett. Dette ordet antyder den mer kompakte notasjonen for et veikryss som vanligvis brukes.

Symbolet som brukes for skjæringspunktet mellom de to settene EN og B er gitt av EN ∩ B . En måte å huske at dette symbolet ∩ refererer til skjæringspunktet på, er å legge merke til dets likhet med stor A, som er en forkortelse for ordet 'og'.

For å se denne notasjonen i aksjon, se eksemplet ovenfor. Her hadde vi settene EN = {1, 2, 3, 4, 5} og B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Så vi ville skrive settligningen EN ∩ B = {3, 4, 5}.

Kryss med det tomme settet

En grunnleggende identitet som involverer skjæringspunktet viser oss hva som skjer når vi tar skjæringspunktet mellom et sett med det tomme settet, betegnet med #8709. Det tomme settet er settet uten elementer. Hvis det ikke er noen elementer i minst ett av settene vi prøver å finne skjæringspunktet mellom, har de to settene ingen elementer til felles. Med andre ord, skjæringspunktet mellom ethvert sett med det tomme settet vil gi oss det tomme settet.

Denne identiteten blir enda mer kompakt med bruken av vår notasjon. Vi har identiteten: EN ∩ ∅ = ∅.

Kryss med universalsettet

For den andre ytterligheten, hva skjer når vi undersøker skjæringspunktet mellom et sett med det universelle settet? Ligner på hvordan ordet univers brukes i astronomi til å bety alt, det universelle settet inneholder hvert element. Det følger at hvert element i settet vårt også er et element i det universelle settet. Dermed er skjæringspunktet mellom ethvert sett og det universelle settet settet vi startet med.

Igjen kommer notasjonen vår til unnsetning for å uttrykke denne identiteten mer kortfattet. For ethvert sett EN og det universelle settet I , EN ∩ I = EN .

Andre identiteter som involverer krysset

Det er mange flere sette ligninger som involverer bruken av kryssoperasjonen. Selvfølgelig er det alltid godt å øve på ved å bruke mengdelærens språk. For alle sett EN , og B og D vi har:

• Refleksiv eiendom: EN ∩ EN = EN
• Kommutativ egenskap: EN ∩ B = B ∩ EN
• Assosiativ eiendom :( EN ∩ B ) ∩ D = EN ∩ ( B ∩ D )
• Fordelingseiendom: ( EN ∪ B ) ∩ D = ( EN ∩ D )∪ ( B ∩ D )
• DeMorgans lov I: ( EN ∩ B )^C= EN ^C∪ B ^C
• DeMorgans lov II: ( EN ∪ B )^C= EN ^C∩ B ^C