Hva er strømsettet?

Ett spørsmål inn settteori er om et sett er en delmengde av et annet sett. En undergruppe av EN er et sett som dannes ved å bruke noen av elementene fra settet EN . For å B å være en undergruppe av EN , hvert element av B må også være et element i EN .

Hvert sett har flere undersett. Noen ganger er det ønskelig å kjenne til alle delmengdene som er mulige. En konstruksjon kjent som kraftsettet hjelper i denne bestrebelsen. Settets kraftsett EN er et sett med elementer som også er sett. Dette potenssettet dannes ved å inkludere alle delmengdene til et gitt sett EN .

Eksempel 1

Vi skal vurdere to eksempler på kraftsett. For det første, hvis vi begynner med settet EN = {1, 2, 3}, hva er så effekten? Vi fortsetter med å liste opp alle undergruppene av EN .

• De tomt sett er en undergruppe av EN . Faktisk tomt sett er en delmengde av hvert sett . Dette er den eneste delmengden uten elementer av EN .
• Settene {1}, {2}, {3} er de eneste undersettene av EN med ett element.
• Settene {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} er de eneste undersettene av EN med to elementer.
• Hvert sett er en delmengde av seg selv. Og dermed EN = {1, 2, 3} er en delmengde av EN . Dette er den eneste undergruppen med tre elementer.

EN EN EN

Eksempel 2

For det andre eksemplet vil vi vurdere kraftsettet til B ={1, 2, 3, 4}. Mye av det vi sa ovenfor er likt, om ikke identisk nå:

• Det tomme settet og B er begge undergrupper.
• Siden det er fire elementer av B , er det fire delsett med ett element: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Siden hver delmengde av tre elementer kan dannes ved å eliminere ett element fra B og det er fire elementer, det er fire slike delmengder: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Det gjenstår å bestemme delmengdene med to elementer. Vi danner en delmengde av to elementer valgt fra et sett på 4. Dette er en kombinasjon og det er C (4, 2 ) =6 av disse kombinasjonene. Undersettene er: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B B

Notasjon

Det er to måter som kraftsettet til et sett EN er angitt. En måte å angi dette på er å bruke symbolet P ( EN ), hvor noen ganger dette brevet P er skrevet med et stilisert manus. En annen notasjon for kraftsettet til EN er 2 ^EN . Denne notasjonen brukes til å koble kraftsettet til antall elementer i kraftsettet.

Størrelse på strømsettet

Vi vil undersøke denne notasjonen nærmere. Hvis EN er et begrenset sett med n elementer, deretter kraftsettet P( A ) vil ha 2 ⁿ elementer. Hvis vi jobber med et uendelig sett, er det ikke nyttig å tenke på 2 ⁿ elementer. Imidlertid forteller et teorem fra Cantor oss at kardinaliteten til en mengde og dens potensmengde ikke kan være den samme.

Det var et åpent spørsmål i matematikk om kardinaliteten til potensmengden til en tellelig uendelig mengde stemmer overens med realenes kardinalitet. Løsningen på dette spørsmålet er ganske teknisk, men sier at vi kan velge å gjøre denne identifiseringen av kardinaliteter eller ikke. Begge fører til en konsistent matematisk teori.

Power setter i sannsynlighet

Sannsynlighetsfaget er basert på settteori. I stedet for å referere til universelle sett og delmengder, snakker vi i stedet om prøverom og arrangementer . Noen ganger når vi arbeider med et prøverom, ønsker vi å bestemme hendelsene i det prøverommet. Kraftsettet til prøverommet vi har vil gi oss alle mulige hendelser.