Multiplikasjonsregel for uavhengige hendelser

C.K. Taylor

Det er viktig å vite hvordan man beregner sannsynligheten for en hendelse. Visse typer hendelser i sannsynlighet kalles uavhengige. Når vi har et par uavhengige hendelser, kan vi noen ganger spørre: 'Hva er sannsynligheten for at begge disse hendelsene inntreffer?' I denne situasjonen kan vi ganske enkelt multiplisere våre to sannsynligheter sammen.

Vi vil se hvordan man kan bruke multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser. Etter at vi har gått gjennom det grunnleggende, vil vi se detaljene i et par beregninger.

Definisjon av uavhengige hendelser

Vi begynner med en definisjon av uavhengige hendelser. I sannsynlighet , to hendelser er uavhengige dersom utfallet av en hendelse ikke påvirker utfallet av den andre hendelsen.

Et godt eksempel på et par uavhengige hendelser er når vi kaster en terning og deretter kaster en mynt. Tallet som vises på terningen har ingen effekt på mynten som ble kastet. Derfor er disse to hendelsene uavhengige.

Et eksempel på et par hendelser som ikke er uavhengige vil være kjønnet til hver baby i et sett med tvillinger. Hvis tvillingene er identiske, vil begge være menn, eller begge vil være kvinner.

Uttalelse av multiplikasjonsregelen

Multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser relaterer sannsynlighetene for to hendelser til sannsynligheten for at de begge inntreffer. For å bruke regelen må vi ha sannsynlighetene for hver av de uavhengige hendelsene. Gitt disse hendelsene, angir multiplikasjonsregelen sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer ved å multiplisere sannsynlighetene for hver hendelse.

Formel for multiplikasjonsregelen

Multiplikasjonsregelen er mye lettere å angi og å jobbe med når vi bruker matematisk notasjon.

Angi hendelser EN og B og sannsynlighetene for hver av P(A) og P(B) . Hvis EN og B er uavhengige hendelser, da:

P(A og B) = P(A) x P(B)

Noen versjoner av denne formelen bruker enda flere symboler. I stedet for ordet 'og' kan vi i stedet bruke krysssymbolet: ∩. Noen ganger brukes denne formelen som definisjon av uavhengige hendelser. Arrangementer er uavhengige hvis og bare hvis P(A og B) = P(A) x P(B) .

Eksempel #1 på bruken av multiplikasjonsregelen

Vi skal se hvordan du bruker multiplikasjonsregelen ved å se på noen få eksempler. Anta først at vi kaster en sekssidig terning og så snur en mynt. Disse to hendelsene er uavhengige. Sannsynligheten for å kaste en 1 er 1/6. Sannsynligheten for et hode er 1/2. Sannsynligheten for å rulle en 1 og å få et hode er 1/6 x 1/2 = 1/12.

Hvis vi var tilbøyelige til å være skeptiske til dette resultatet, er dette eksemplet lite nok til at alle utfallene kunne listes opp: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Vi ser at det er tolv utfall, som alle er like sannsynlige. Derfor er sannsynligheten for 1 og et hode 1/12. Multiplikasjonsregelen var mye mer effektiv fordi den ikke krevde at vi skulle liste opp hele prøverommet.

Eksempel #2 på bruken av multiplikasjonsregelen

For det andre eksemplet, anta at vi trekker et kort fra a standard dekk , bytt ut dette kortet, stokk stokken og trekk igjen. Vi spør så hva er sannsynligheten for at begge kortene er konger. Siden vi har tegnet med utskifting , disse hendelsene er uavhengige og multiplikasjonsregelen gjelder.

Sannsynligheten for å trekke en konge for det første kortet er 1/13. Sannsynligheten for å trekke en konge på den andre trekningen er 1/13. Grunnen til dette er at vi erstatter kongen som vi tegnet fra første gang. Siden disse hendelsene er uavhengige, bruker vi multiplikasjonsregelen for å se at sannsynligheten for å trekke to konger er gitt av følgende produkt 1/13 x 1/13 = 1/169.

Hvis vi ikke erstattet kongen, ville vi ha en annen situasjon der hendelsene ikke ville være uavhengige. Sannsynligheten for å trekke en konge på det andre kortet vil bli påvirket av resultatet av det første kortet.