Prøvetaking med eller uten erstatning

Henry Horenstein / Getty Images

Statistisk utvalg kan gjøres på en rekke forskjellige måter. I tillegg til typen prøvetakingsmetode vi bruker, er det et annet spørsmål knyttet til hva som spesifikt skjer med en person som vi har valgt tilfeldig ut. Dette spørsmålet som oppstår ved prøvetaking er: 'Hva gjør vi med individet etter at vi har valgt et individ og registrert målingen av egenskapen vi studerer?'

Det er to alternativer:

• Vi kan erstatte individet tilbake i bassenget som vi prøver fra.
• Vi kan velge å ikke erstatte den enkelte.

Vi kan veldig lett se at disse fører til to forskjellige situasjoner. I det første alternativet åpner utskifting muligheten for at personen blir tilfeldig valgt en gang til. For det andre alternativet, hvis vi jobber uten erstatning, er det umulig å velge den samme personen to ganger. Vi vil se at denne forskjellen vil påvirke beregningen av sannsynligheter knyttet til disse prøvene.

Effekt på sannsynligheter

For å se hvordan vi håndterer erstatning påvirker beregningen av sannsynligheter, bør du vurdere følgende eksempelspørsmål. Hva er sannsynligheten for å trekke to ess fra a standard kortstokk ?

Dette spørsmålet er tvetydig. Hva skjer når vi trekker det første kortet? Setter vi den tilbake i dekket, eller lar vi den være ute?

Vi starter med å regne ut sannsynligheten ved utskifting. Det er fire ess og 52 kort totalt, så sannsynligheten for å trekke ett ess er 4/52. Hvis vi erstatter dette kortet og trekker igjen, er sannsynligheten igjen 4/52. Disse hendelsene er uavhengige, så vi multipliserer sannsynlighetene (4/52) x (4/52) = 1/169, eller omtrent 0,592 %.

Nå skal vi sammenligne dette med samme situasjon, med unntak av at vi ikke bytter ut kortene. Sannsynligheten for å trekke et ess på den første trekningen er fortsatt 4/52. For det andre kortet antar vi at et ess allerede er trukket. Vi må nå beregne en betinget sannsynlighet. Med andre ord, vi må vite hva sannsynligheten for å trekke et andre ess, gitt at det første kortet også er et ess.

Det er nå tre ess igjen av totalt 51 kort. Så den betingede sannsynligheten for et andre ess etter å ha trukket et ess er 3/51. Sannsynligheten for å trekke to ess uten erstatning er (4/52) x (3/51) = 1/221, eller omtrent 0,425%.

Vi ser direkte fra problemstillingen ovenfor at det vi velger å gjøre med erstatning har betydning for sannsynlighetsverdiene. Det kan endre disse verdiene betydelig.

Befolkningsstørrelser

Det er noen situasjoner der prøvetaking med eller uten erstatning ikke endrer noen sannsynligheter vesentlig. Anta at vi tilfeldig velger ut to personer fra en by med en befolkning på 50 000, hvorav 30 000 av disse menneskene er kvinner.

Hvis vi prøver med erstatning, er sannsynligheten for å velge en kvinne ved det første utvalget gitt med 30000/50000 = 60%. Sannsynligheten for en kvinne på det andre utvalget er fortsatt 60 %. Sannsynligheten for at begge er kvinner er 0,6 x 0,6 = 0,36.

Hvis vi prøver uten erstatning, er den første sannsynligheten upåvirket. Den andre sannsynligheten er nå 29999/49999 = 0,5999919998..., som er ekstremt nær 60%. Sannsynligheten for at begge er kvinner er 0,6 x 0,5999919998 = 0,359995.

Sannsynlighetene er teknisk forskjellige, men de er nærme nok til å være nesten umulige å skille. Av denne grunn, mange ganger, selv om vi prøver uten erstatning, behandler vi utvalget av hver enkelt som om de er uavhengige av de andre individene i utvalget.

Andre applikasjoner

Det er andre tilfeller der vi må vurdere om vi skal prøve med eller uten erstatning. Et eksempel på dette er bootstrapping. Denne statistiske teknikken faller inn under overskriften en resampling-teknikk.

I bootstrapping starter vi med et statistisk utvalg av en populasjon. Vi bruker deretter dataprogramvare for å beregne bootstrap-eksempler. Med andre ord omsampler datamaskinen med erstatning fra den første prøven.