Sannsynlighet for forening av 3 eller flere sett

Sylvia Schug/E+/Getty Images

Når to hendelser er gjensidig utelukkende , sannsynligheten for deres fagforening kan beregnes med tilleggsregel . Vi vet at for å kaste en terning er det å kaste et tall større enn fire eller et tall mindre enn tre gjensidig utelukkende hendelser, uten noe til felles. Så for å finne sannsynligheten for denne hendelsen legger vi ganske enkelt til sannsynligheten for at vi kaster et tall større enn fire til sannsynligheten for at vi kaster et tall mindre enn tre. I symboler har vi følgende, hvor hovedstaden P angir sannsynligheten for:

P (større enn fire eller mindre enn tre) = P (større enn fire) + P (mindre enn tre) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Hvis hendelsene er ikke gjensidig utelukkende, så legger vi ikke bare sammen sannsynlighetene for hendelsene, men vi må trekke fra sannsynligheten for kryss av hendelsene. Gitt hendelsene EN og B :

P ( EN I B ) = P ( EN ) + P ( B ) - P ( EN ∩ B ).

Her redegjør vi for muligheten for å dobbelttelle de elementene som er i begge EN og B , og det er derfor vi trekker fra sannsynligheten for krysset.

Spørsmålet som oppstår av dette er, hvorfor slutte med to sett? Hva er sannsynligheten for forening av mer enn to sett?

Formel for Union of 3 Sets

Vi vil utvide ideene ovenfor til situasjonen der vi har tre sett, som vi vil betegne EN , B , og C . Vi vil ikke anta noe mer enn dette, så det er mulighet for at settene har et ikke-tomt kryss. Målet vil være å beregne sannsynlighet av foreningen av disse tre settene, eller P ( EN I B I C ).

Diskusjonen ovenfor for to sett holder fortsatt. Vi kan legge sammen sannsynlighetene til de enkelte settene EN , B , og C , men ved å gjøre dette har vi dobbelttelling noen elementer.

Elementene i skjæringspunktet mellom EN og B har blitt dobbelttalt som før, men nå er det andre elementer som potensielt har blitt talt to ganger. Elementene i skjæringspunktet mellom EN og C og i skjæringspunktet mellom B og C har nå også blitt talt to ganger. Så sannsynligheter av disse kryssene må også trekkes fra.

Men har vi trukket for mye? Det er noe nytt å ta i betraktning som vi ikke trengte å bekymre oss for da det bare var to sett. Akkurat som alle to sett kan ha et kryss, kan alle tre sett også ha et kryss. I forsøket på å forsikre oss om at vi ikke har dobbelttelling noe, har vi ikke talt i det hele tatt de elementene som dukker opp i alle tre settene. Så sannsynligheten for skjæringspunktet mellom alle tre settene må legges inn igjen.

Her er formelen som er avledet fra diskusjonen ovenfor:

P ( EN I B I C ) = P ( EN ) + P ( B ) + P ( C ) - P ( EN ∩ B ) - P ( EN ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( EN ∩ B ∩ C )

Eksempel som involverer 2 terninger

For å se formelen for sannsynligheten for foreningen av tre sett, anta at vi spiller et brettspill som involverer kaste to terninger . På grunn av spillereglene, må vi få minst én av terningene for å være en to, tre eller fire for å vinne. Hva er sannsynligheten for dette? Vi legger merke til at vi prøver å beregne sannsynligheten for foreningen av tre hendelser: rulle minst en to, rulle minst en tre, rulle minst en fire. Så vi kan bruke formelen ovenfor med følgende sannsynligheter:

• Sannsynligheten for å kaste en toer er 11/36. Telleren her kommer fra det faktum at det er seks utfall der den første terningen er en toer, seks der den andre terningen er en toer, og ett utfall der begge terningene er toere. Dette gir oss 6 + 6 - 1 = 11.
• Sannsynligheten for å kaste en treer er 11/36, av samme grunn som ovenfor.
• Sannsynligheten for å kaste en firer er 11/36, av samme grunn som ovenfor.
• Sannsynligheten for å kaste en toer og en treer er 2/36. Her kan vi ganske enkelt liste opp mulighetene, de to kan komme først eller det kan komme på andreplass.
• Sannsynligheten for å kaste en toer og en firer er 2/36, av samme grunn som sannsynligheten for en toer og en treer er 2/36.
• Sannsynligheten for å kaste en to, tre og fire er 0 fordi vi bare kaster to terninger og det er ingen måte å få tre tall med to terninger.

Vi bruker nå formelen og ser at sannsynligheten for å få minst en toer, en treer eller en firer er

11/36 + 11/36 + 11/36 – 2/36 – 2/36 – 2/36 + 0 = 27/36.

Formel for sannsynlighet for forening av 4 sett

Grunnen til at formelen for sannsynligheten for foreningen av fire sett har sin form er lik begrunnelsen for formelen for tre sett. Etter hvert som antall sett øker, øker også antall par, trippel og så videre. Med fire sett er det seks parvise skjæringspunkter som må trekkes fra, fire trippelkryss for å legge til igjen, og nå et firedobbelt skjæringspunkt som må trekkes fra. Gitt fire sett EN , B , C og D , formelen for foreningen av disse settene er som følger:

P ( EN I B I C I D ) = P ( EN ) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D ) - P ( EN ∩ B ) - P ( EN ∩ C ) - P ( EN ∩ D )- P ( B ∩ C ) - P ( B ∩ D ) - P ( C ∩ D ) + P ( EN ∩ B ∩ C ) + P ( EN ∩ B ∩ D ) + P ( EN ∩ C ∩ D ) + P ( B ∩ C ∩ D ) - P ( EN ∩ B ∩ C ∩ D ).

Overordnet mønster

Vi kunne skrive formler (som ville se enda skumlere ut enn den ovenfor) for sannsynligheten for forening av mer enn fire sett, men fra å studere formlene ovenfor bør vi legge merke til noen mønstre. Disse mønstrene holder for å beregne fagforeninger på mer enn fire sett. Sannsynligheten for foreningen av et hvilket som helst antall sett kan bli funnet som følger:

1. Legg til sannsynlighetene for de enkelte hendelsene.
2. Trekk fra sannsynlighetene for kryssene av hvert par hendelser.
3. Legg til sannsynlighetene for skjæringspunktet mellom hvert sett med tre hendelser.
4. Trekk fra sannsynlighetene for skjæringspunktet mellom hvert sett med fire hendelser.
5. Fortsett denne prosessen til den siste sannsynligheten er sannsynligheten for skjæringspunktet mellom det totale antallet sett vi startet med.