Sannsynligheter for å kaste to terninger
Tetra Images/Getty Images
En populær måte å studere sannsynlighet på er å kaste terninger. En standard terning har seks sider trykt med små prikker som nummererer 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Hvis terningen er rettferdig (og vi vil anta at alle av dem er), så er hvert av disse utfallene like sannsynlige. Siden det er seks mulige utfall, er sannsynligheten for å oppnå hvilken som helst side av terningen 1/6. Sannsynligheten for å kaste en 1 er 1/6, sannsynligheten for å kaste en 2 er 1/6, og så videre. Men hva skjer hvis vi legger til en annen terning? Hva er sannsynligheten for å kaste to terninger?
Terningkast sannsynlighet
For riktig å bestemme sannsynligheten for et terningkast, må vi vite to ting:
- Størrelsen på prøverom eller settet med totale mulige utfall
- Hvor ofte en hendelse inntreffer
I sannsynlighet , er en hendelse en viss delmengde av prøverommet. For eksempel, når bare én terning kastes, som i eksemplet ovenfor, er prøverommet lik alle verdiene på terningen, eller settet (1, 2, 3, 4, 5, 6). Siden terningen er rettferdig, forekommer hvert tall i settet bare én gang. Med andre ord, frekvensen til hvert tall er 1. For å bestemme sannsynligheten for å kaste et av tallene på terningen, deler vi hendelsesfrekvensen (1) på størrelsen på prøverommet (6), noe som resulterer i en sannsynlighet av 1/6.
Å kaste to rettferdige terninger mer enn dobler vanskeligheten med å beregne sannsynligheter. Dette er fordi å kaste en terning er uavhengig av å kaste en andre. Det ene kast har ingen effekt på det andre. Når vi arbeider med uavhengige hendelser bruker vi multiplikasjonsregel . Bruken av et trediagram viser at det er 6 x 6 = 36 mulige utfall ved å kaste to terninger.
Anta at den første terningen vi kaster kommer opp som en 1. Den andre terningen kan være en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Anta nå at den første terningen er en 2. Den andre terningen kan igjen være en 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Vi har allerede funnet 12 potensielle utfall, og har ennå ikke brukt alle mulighetene til den første terningen.
Sannsynlighetstabell for å kaste to terninger
De mulige resultatene av å kaste to terninger er representert i tabellen nedenfor. Merk at antallet totale mulige utfall er lik prøverommet til den første terningen (6) multiplisert ved prøverommet til den andre dysen (6), som er 36.
| 1 | to | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (elleve) | (1, 2) | (1. 3) | (1, 4) | (femten) | (1, 6) |
| to | (tjueen) | (2, 2) | (23) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3. 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (Fire fem) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tre eller flere terninger
Det samme prinsippet gjelder hvis vi jobber med problemer med tre terninger . Vi multipliserer og ser at det er 6 x 6 x 6 = 216 mulige utfall. Ettersom det blir tungvint å skrive den gjentatte multiplikasjonen, kan vi bruke eksponenter for å forenkle arbeidet. For to terninger er det 6tomulige utfall. For tre terninger er det 63mulige utfall. Generelt, hvis vi ruller n terninger, så er det totalt 6 n mulige utfall.
Prøveproblemer
Med denne kunnskapen kan vi løse alle slags sannsynlighetsproblemer:
1. To sekssidige terninger kastes. Hva er sannsynligheten for at summen av de to terningene er syv?
Den enkleste måten å løse dette problemet på er å se tabellen ovenfor. Du vil legge merke til at i hver rad er det ett terningkast hvor summen av de to terningene er lik syv. Siden det er seks rader, er det seks mulige utfall der summen av de to terningene er lik syv. Antallet totale mulige utfall forblir 36. Igjen finner vi sannsynligheten ved å dele hendelsesfrekvensen (6) på størrelsen på prøverommet (36), noe som resulterer i en sannsynlighet på 1/6.
2. To sekssidige terninger kastes. Hva er sannsynligheten for at summen av de to terningene er tre?
I forrige oppgave har du kanskje lagt merke til at cellene der summen av de to terningene er lik syv, danner en diagonal. Det samme gjelder her, bortsett fra i dette tilfellet er det bare to celler hvor summen av terningene er tre. Det er fordi det bare er to måter å få dette resultatet på. Du må kaste en 1 og en 2 eller du må kaste en 2 og en 1. Kombinasjonene for å kaste en sum på syv er mye større (1 og 6, 2 og 5, 3 og 4, og så videre). For å finne sannsynligheten for at summen av de to terningene er tre, kan vi dele hendelsesfrekvensen (2) på størrelsen på prøverommet (36), noe som resulterer i en sannsynlighet på 1/18.
3. To sekssidige terninger kastes. Hva er sannsynligheten for at tall på terningen er forskjellige?
Igjen kan vi enkelt løse dette problemet ved å se tabellen ovenfor. Du vil legge merke til at cellene der tallene på terningen er like, danner en diagonal. Det er bare seks av dem, og når vi har krysset dem ut har vi de gjenværende cellene der tallene på terningene er forskjellige. Vi kan ta antall kombinasjoner (30) og dele det på størrelsen på prøverommet (36), noe som resulterer i en sannsynlighet på 5/6.