Sannsynligheter for å kaste tre terninger

Igor Galich / EyeEm / Getty Images

Terninger gir flotte illustrasjoner for begreper i sannsynlighet . De mest brukte terningene er terninger med seks sider. Her vil vi se hvordan du beregner sannsynligheter for å kaste tre standardterninger. Det er en relativt standard oppgave å beregne sannsynligheten for summen oppnådd ved kaste to terninger . Det er totalt 36 forskjellige kast med to terninger, med en hvilken som helst sum fra 2 til 12 mulig. Hvordan endres problemet hvis vi legger til flere terninger?

Mulige utfall og summer

Akkurat som en terning har seks utfall og to terninger har 6^to= 36 utfall, sannsynlighetseksperimentet for å kaste tre terninger har 6³= 216 utfall. Denne ideen generaliserer ytterligere for flere terninger. Hvis vi ruller n terninger så er det 6 ⁿ utfall.

Vi kan også vurdere de mulige summene ved å kaste flere terninger. Minst mulig sum oppstår når alle terningene er de minste, eller én hver. Dette gir en sum på tre når vi kaster tre terninger. Det største tallet på en terning er seks, som betyr at størst mulig sum oppstår når alle tre terningene er seksere. Summen av denne situasjonen er 18.

Når n terninger kastes, er minst mulig sum n og størst mulig sum er 6 n .

• Det er én mulig måte tre terninger kan totalt 3
• 3 måter for 4
• 6 for 5
• 10 for 6
• 15 for 7
• 21 for 8
• 25 for 9
• 27 for 10
• 27 for 11
• 25 for 12
• 21 for 13
• 15 for 14
• 10 for 15
• 6 for 16
• 3 for 17
• 1 for 18

Formingssummer

Som diskutert ovenfor inkluderer de mulige summene for tre terninger hvert tall fra tre til 18. Sannsynlighetene kan beregnes ved å bruke tellestrategier og erkjenner at vi leter etter måter å dele et tall inn i nøyaktig tre hele tall. For eksempel er den eneste måten å få en sum på tre på 3 = 1 + 1 + 1. Siden hver terning er uavhengig av de andre, kan en sum som fire oppnås på tre forskjellige måter:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

Ytterligere telleargumenter kan brukes for å finne antall måter å danne de andre summene på. Partisjonene for hver sum følger:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Når tre forskjellige tall danner partisjonen, for eksempel 7 = 1 + 2 + 4, er det 3! (3x2x1) forskjellige måter å permutering disse tallene. Så dette vil telle mot tre utfall i prøverommet. Når to forskjellige tall danner partisjonen, er det tre forskjellige måter å permutere disse tallene på.

Spesifikke sannsynligheter

Vi deler det totale antallet måter å oppnå hver sum på med det totale antallet utfall i prøverom , eller 216. Resultatene er:

• Sannsynlighet for en sum på 3: 1/216 = 0,5 %
• Sannsynlighet for en sum på 4: 3/216 = 1,4 %
• Sannsynlighet for en sum på 5: 6/216 = 2,8 %
• Sannsynlighet for en sum på 6: 10/216 = 4,6 %
• Sannsynlighet for en sum på 7: 15/216 = 7,0 %
• Sannsynlighet for en sum på 8: 21/216 = 9,7 %
• Sannsynlighet for en sum på 9: 25/216 = 11,6 %
• Sannsynlighet for en sum på 10: 27/216 = 12,5 %
• Sannsynlighet for en sum på 11: 27/216 = 12,5 %
• Sannsynlighet for en sum på 12: 25/216 = 11,6 %
• Sannsynlighet for en sum på 13: 21/216 = 9,7 %
• Sannsynlighet for en sum på 14: 15/216 = 7,0 %
• Sannsynlighet for en sum på 15: 10/216 = 4,6 %
• Sannsynlighet for en sum på 16: 6/216 = 2,8 %
• Sannsynlighet for en sum på 17: 3/216 = 1,4 %
• Sannsynlighet for en sum på 18: 1/216 = 0,5 %

Som man kan se, er ekstremverdiene 3 og 18 minst sannsynlige. Summene som er nøyaktig i midten er de mest sannsynlige. Dette tilsvarer det som ble observert da to terninger ble kastet.