Betydningen av gjensidig eksklusiv i statistikk

Arrangement A og B er gjensidig eksklusive. C.K. Taylor

Med sannsynlighet to arrangementer sies å være gjensidig utelukkende hvis og bare hvis hendelsene har ingen felles utfall. Hvis vi betrakter hendelsene som sett, vil vi si at to hendelser er gjensidig utelukkende når skjæringspunktet deres er tomt sett . Vi kunne betegne hendelser EN og B utelukker hverandre av formelen EN ∩ B = Ø. Som med mange begreper fra sannsynlighet, vil noen eksempler bidra til å gi mening om denne definisjonen.

Terningkast

Anta at vi kast to sekssidige terninger og legg til antall prikker som vises på toppen av terningene. Hendelsen som består av 'summen er partall' er gjensidig utelukkende fra hendelsen 'summen er oddetall'. Grunnen til dette er fordi det ikke er mulig for et tall å være partall og oddetall.

Nå skal vi utføre det samme sannsynlighetseksperimentet med å kaste to terninger og legge sammen tallene som vises. Denne gangen vil vi vurdere hendelsen som består av å ha en oddetall og hendelsen som består av å ha en sum større enn ni. Disse to hendelsene utelukker ikke hverandre.

Årsaken er tydelig når vi undersøker utfallet av hendelsene. Den første hendelsen har utfall på 3, 5, 7, 9 og 11. Den andre hendelsen har utfall på 10, 11 og 12. Siden 11 er i begge disse, utelukker ikke hendelsene hverandre.

Tegnekort

Vi illustrerer videre med et annet eksempel. Anta at vi trekker et kort fra en standard kortstokk med 52 kort. Å tegne et hjerte er ikke gjensidig utelukkende for hendelsen med å tegne en konge. Dette er fordi det er et kort (hjertekongen) som dukker opp i begge disse hendelsene.

Hvorfor betyr det noe

Det er tider når det er veldig viktig å avgjøre om to hendelser utelukker hverandre eller ikke. Å vite om to hendelser utelukker hverandre påvirker beregningen av sannsynligheten for at den ene eller den andre inntreffer.

Gå tilbake til korteksemplet. Hvis vi trekker ett kort fra en standard kortstokk med 52 kort, hva er sannsynligheten for at vi har trukket et hjerte eller en konge?

Først deler du dette inn i individuelle hendelser. For å finne sannsynligheten for at vi har trukket et hjerte, teller vi først antall hjerter i bunken som 13 og deler så på det totale antallet kort. Dette betyr at sannsynligheten for et hjerte er 13/52.

For å finne sannsynligheten for at vi har trukket en konge starter vi med å telle det totale antallet konger, noe som resulterer i fire, og deretter deler vi på det totale antallet kort, som er 52. Sannsynligheten for at vi har trukket en konge er 4/52 .

Problemet er nå å finne sannsynligheten for å tegne enten en konge eller et hjerte. Her må vi være forsiktige. Det er veldig fristende å bare legge til sannsynlighetene 13/52 og 4/52 sammen. Dette ville ikke være riktig fordi de to hendelsene ikke utelukker hverandre. Hjertenes konge har blitt talt to ganger i disse sannsynlighetene. For å motvirke dobbelttellingen må vi trekke fra sannsynligheten for å trekke en konge og et hjerte, som er 1/52. Derfor er sannsynligheten for at vi har tegnet enten en konge eller et hjerte 16/52.

Annen bruk av gjensidig eksklusiv

En formel kjent som tilleggsregel gir en alternativ måte å løse et problem som det ovenfor. Addisjonsregelen refererer faktisk til et par formler som er nært beslektet med hverandre. Vi må vite om arrangementene våre er gjensidig utelukkende for å vite hvilken addisjonsformel som er passende å bruke.