Hvordan bruke 'Hvis og bare hvis' i matematikk
Courtney Taylor
Når du leser om statistikk og matematikk, er en setning som regelmessig dukker opp hvis og bare hvis. Denne frasen vises spesielt i utsagn om matematiske teoremer eller bevis. Men nøyaktig hva betyr denne uttalelsen?
Hva betyr hvis og bare hvis i matematikk?
For å forstå om og bare hvis, må vi først vite hva som menes med et betinget utsagn. En betinget setning er en som er dannet av to andre setninger, som vi vil betegne med P og Q. For å danne en betinget setning kan vi si om P så Q.
Følgende er eksempler på denne typen utsagn:
- Hvis det regner ute, så tar jeg med meg paraplyen på turen.
- Hvis du studerer hardt, vil du få en A.
- Hvis n er delelig med 4, da n er delelig med 2.
Converse og Conditionals
Tre andre utsagn er knyttet til enhver betinget utsagn. Disse kalles omvendt, omvendt og det kontrapositive . Vi danner disse utsagnene ved å endre rekkefølgen til P og Q fra den opprinnelige betingede og sette inn ordet ikke for invers og kontrapositiv.
Vi trenger bare å vurdere det motsatte her. Dette utsagnet er hentet fra originalen ved å si hvis Q så P. Anta at vi starter med betinget hvis det regner ute, så tar jeg med meg paraplyen på turen. Det motsatte av dette utsagnet er at hvis jeg tar med meg paraplyen på turen, så regner det ute.
Vi trenger bare å vurdere dette eksemplet for å innse at det opprinnelige betingede ikke er logisk det samme som det motsatte. Forvirringen av disse to erklæringsformene er kjent som en omvendt feil . Man kan ta en paraply på tur selv om det kanskje ikke regner ute.
For et annet eksempel ser vi på det betingede. Hvis et tall er delelig med 4, er det delbart med 2. Dette utsagnet er helt klart sant. Imidlertid er denne setningen omvendt Hvis et tall er delelig med 2, så er det delelig med 4, usant. Vi trenger bare å se på et tall som 6. Selv om 2 deler dette tallet, gjør ikke 4 det. Selv om den opprinnelige uttalelsen er sann, er det motsatte ikke.
Bibetinget
Dette bringer oss til et bibetinget utsagn, som også er kjent som et 'hvis og bare hvis'-utsagn. Enkelte betingede utsagn har også konversere som er sanne. I dette tilfellet kan vi danne det som er kjent som en bibetinget erklæring. En bibetinget uttalelse har formen:
Hvis P så Q, og hvis Q så P.
Siden dette konstruksjon er noe vanskelig, spesielt når P og Q er deres egne logiske utsagn, forenkler vi utsagnet om en bibetinget ved å bruke uttrykket 'hvis og bare hvis.' I stedet for å si 'hvis P så Q, og hvis Q så P' sier vi i stedet 'P hvis og bare hvis Q.' Denne konstruksjonen eliminerer noe redundans.
Statistikk eksempel
For et eksempel på uttrykket hvis og bare hvis det involverer statistikk, se ikke lenger enn et faktum angående prøvestandardavviket. Eksempelstandardavviket til et datasett er lik null hvis og bare hvis alle dataverdiene er identiske.
Vi deler denne bibetingede erklæringen inn i en betinget og dens omvendte. Da ser vi at denne uttalelsen betyr begge de følgende:
- Hvis standardavviket er null, er alle dataverdiene identiske.
- Hvis alle dataverdiene er identiske, er standardavviket lik null.
Bevis på bibetinget
Hvis vi prøver å bevise en bibetingelse, ender vi som oftest opp med å dele den. Dette gjør at beviset vårt har to deler. En del vi beviser er hvis P så Q. Den andre delen av beviset vi trenger er hvis Q så P.
Nødvendige og tilstrekkelige betingelser
Bibetingede utsagn er knyttet til forhold som er både nødvendige og tilstrekkelige. Vurder utsagnet hvis i dag er det påske , da er det mandag i morgen. I dag er påske nok til at morgendagen er mandag, men det er ikke nødvendig. I dag kan være en hvilken som helst søndag bortsett fra påske, og i morgen vil fortsatt være mandag.
Forkortelse
Uttrykket hvis og bare hvis brukes ofte nok i matematisk skriving til at den har sin egen forkortelse. Noen ganger er det bibetingede i setningen om og bare hvis forkortet til ganske enkelt iff. Dermed blir setningen P hvis og bare hvis Q blir P hvis Q.