Hva er omvendt, kontrapositiv og omvendt?

Corbis/VCG via Getty Images / Getty Images

Betingede utsagn dukker opp overalt. I matematikk eller andre steder tar det ikke lang tid å komme inn i noe av formen If P deretter Q . Betingede uttalelser er virkelig viktige. Det som også er viktig er utsagn som er relatert til den opprinnelige betingelsesutsagnet ved å endre plasseringen av P , Q og negasjonen av en uttalelse. Med utgangspunkt i en original setning, ender vi opp med tre nye betingede setninger som heter det omvendte, det kontrapositive og omvendt .

Negasjon

Før vi definerer det omvendte, kontrapositive og inverse til et betinget utsagn, må vi undersøke temaet negasjon. Hver uttalelse i logikk er enten sant eller usant. Negasjonen av et utsagn innebærer ganske enkelt innsetting av ordet ikke i den riktige delen av utsagnet. Tilføyelsen av ordet ikke gjøres slik at det endrer sannhetsstatusen til utsagnet.

Det vil hjelpe å se på et eksempel. Uttalelsen The høyre trekant er likesidet har negasjon Den rettvinklede trekanten er ikke likesidet. Negasjonen av 10 er et partall, og utsagnet 10 er ikke et partall. For dette siste eksempelet kan vi selvfølgelig bruke definisjonen av et oddetall og i stedet si at 10 er et oddetall. Vi legger merke til at sannheten til et utsagn er det motsatte av negasjonens sannhet.

Vi vil undersøke denne ideen i en mer abstrakt setting. Når uttalelsen P er sant, påstanden ikke P er falsk. På samme måte, hvis P er falsk, dens negasjon ikke P er sant. Negasjoner er vanligvis betegnet med en tilde ~. Så i stedet for å skrive ikke P vi kan skrive ~ P .

Omvendt, kontrapositiv og invers

Nå kan vi definere det omvendte, det kontrapositive og det omvendte av et betinget utsagn. Vi starter med den betingede erklæringen If P deretter Q .

• Det motsatte av den betingede uttalelsen er If Q deretter P .
• Kontrasten til den betingede erklæringen er Hvis ikke Q da ikke P .
• Det motsatte av det betingede utsagnet er Hvis ikke P da ikke Q .

Vi vil se hvordan disse utsagnene fungerer med et eksempel. Anta at vi starter med vilkårserklæringen Hvis det regnet i natt, så er fortauet vått.

• Det motsatte av betingelseserklæringen er Hvis fortauet er vått, så regnet det i natt.
• Kontrapositivet til vilkårserklæringen er Hvis fortauet ikke er vått, så regnet det ikke i natt.
• Det motsatte av betingelseserklæringen er Hvis det ikke regnet i natt, så er ikke fortauet vått.

Logisk ekvivalens

Vi lurer kanskje på hvorfor det er viktig å danne disse andre betingede utsagn fra vår første. En nøye titt på eksemplet ovenfor avslører noe. Anta at den opprinnelige uttalelsen Hvis det regnet i natt, så er fortauet vått, er sant. Hvilke av de andre påstandene må også være sanne?

• Omvendt Hvis fortauet er vått, så regnet det i natt er ikke nødvendigvis sant. Fortauet kan være vått av andre årsaker.
• Det omvendte Hvis det ikke regnet i natt, så er ikke fortauet vått, er ikke nødvendigvis sant. Igjen, bare fordi det ikke regnet betyr det ikke at fortauet ikke er vått.
• Kontrapositivet Hvis fortauet ikke er vått, så regnet det ikke i går kveld er en sann påstand.

Det vi ser fra dette eksemplet (og det som kan bevises matematisk) er at et betinget utsagn har samme sannhetsverdi som dets kontrapositive. Vi sier at disse to utsagnene er logisk likeverdige. Vi ser også at et betinget utsagn ikke er logisk ekvivalent med dets omvendte og inverse.

Siden et betinget utsagn og dets kontrapositive er logisk likeverdige, kan vi bruke dette til vår fordel når vi skal bevise matematiske teoremer. I stedet for å bevise sannheten til et betinget utsagn direkte, kan vi i stedet bruke den indirekte bevisstrategien for å bevise sannheten til utsagnets kontrapositive. Kontrapositive bevis fungerer fordi hvis kontrapositivet er sant, på grunn av logisk ekvivalens, er den opprinnelige betingede uttalelsen også sann.

Det viser seg at selv om omvendt og omvendt er ikke logisk ekvivalente med den opprinnelige betingede setningen , de er logisk likeverdige med hverandre. Det er en enkel forklaring på dette. Vi starter med den betingede erklæringen If Q deretter P . Motsetningen til denne uttalelsen er Hvis ikke P da ikke Q . Siden det motsatte er det motsatte av det motsatte, er det motsatte og omvendte logisk likeverdige.