Når er standardavviket lik null?

Maureen P Sullivan / Getty Images

De prøve standardavvik er en beskrivende statistikk som måler spredningen av et kvantitativt datasett. Dette tallet kan være et hvilket som helst ikke-negativt reelt tall. Siden null er en ikke-negativ ekte nummer , virker det verdt å spørre: Når vil prøvestandardavviket være lik null? Dette skjer i det helt spesielle og høyst uvanlige tilfellet når alle dataverdiene våre er nøyaktig de samme. Vi vil utforske årsakene.

Beskrivelse av standardavviket

To viktige spørsmål som vi vanligvis ønsker å svare på om et datasett inkluderer:

• Hva er midten av datasettet?
• Hvor spredt er datasettet?

Det er forskjellige målinger, kalt beskrivende statistikk som svarer på disse spørsmålene. For eksempel sentrum av dataene, også kjent som gjennomsnitt , kan beskrives i form av gjennomsnitt, median eller modus. Annen statistikk, som er mindre kjent, kan brukes som f.eks jage eller trimean.

For spredning av dataene våre kan vi bruke utvalget, den interkvartilt område eller standardavviket. Standardavviket er sammenkoblet med gjennomsnittet for å kvantifisere spredningen av dataene våre. Vi kan deretter bruke dette tallet til å sammenligne flere datasett. Jo større standardavviket vårt er, desto større er spredningen.

Intuisjon

Så la oss vurdere fra denne beskrivelsen hva det ville bety å ha et standardavvik på null. Dette tyder på at det ikke er noen spredning i det hele tatt i datasettet vårt. Alle de individuelle dataverdiene vil bli klumpet sammen til en enkelt verdi. Siden det bare vil være én verdi som dataene våre kan ha, vil denne verdien utgjøre gjennomsnittet av utvalget vårt.

I denne situasjonen, når alle dataverdiene våre er de samme, vil det ikke være noen variasjon overhodet. Intuitivt er det fornuftig at standardavviket til et slikt datasett ville være null.

Matematisk bevis

Prøvestandardavviket er definert av en formel. Så enhver påstand som den ovenfor bør bevises ved å bruke denne formelen. Vi begynner med et datasett som passer til beskrivelsen ovenfor: alle verdier er identiske, og det er det n verdier lik x .

Vi beregner gjennomsnittet av dette datasettet og ser at det er det

x = ( x + x + . . . + x )/ n = nx / n = x .

Når vi nå beregner de individuelle avvikene fra gjennomsnittet, ser vi at alle disse avvikene er null. Følgelig er variansen og også standardavviket begge lik null også.

Nødvendig og tilstrekkelig

Vi ser at hvis datasettet ikke viser noen variasjon, så er standardavviket null. Vi kan spørre om samtale av dette utsagnet er også sant. For å se om det er det, vil vi bruke formelen for standardavvik igjen. Denne gangen vil vi imidlertid sette standardavviket lik null. Vi vil ikke gjøre noen antagelser om datasettet vårt, men vil se hvilken innstilling s = 0 tilsier

Anta at standardavviket til et datasett er lik null. Dette vil innebære at utvalgsvariasjonen s ^toer også lik null. Resultatet er ligningen:

0 = (1/( n - 1)) ∑ ( x _Jeg- x )^to

Vi multipliserer begge sider av ligningen med n - 1 og se at summen av de kvadrerte avvikene er lik null. Siden vi jobber med reelle tall, er den eneste måten dette kan skje på at hvert av de kvadrerte avvikene er lik null. Dette betyr at for hver Jeg , begrepet ( x _Jeg- x )^to= 0.

Vi tar nå kvadratroten av ligningen ovenfor og ser at hvert avvik fra gjennomsnittet må være lik null. Siden for alle Jeg ,

x _Jeg- x = 0

Dette betyr at hver dataverdi er lik gjennomsnittet. Dette resultatet sammen med det ovenfor lar oss si at prøvestandardavviket til et datasett er null hvis og bare hvis alle verdiene er identiske.