Hva er et reelt tall?

Settet med reelle tall kan representeres som en talllinje. C.K. Taylor

Hva er et tall? Vel det kommer an på. Det finnes en rekke forskjellige typer tall, hver med sine egne spesielle egenskaper. En slags tall, hvorpå statistikk , sannsynlighet, og mye av matematikken er basert på, kalles et reelt tall.

For å lære hva et reelt tall er, vil vi først ta en kort omvisning i andre typer tall.

Typer tall

Vi lærer først om tall for å kunne telle. Vi begynte med å matche tallene 1, 2 og 3 med fingrene. Så fortsatte vi så høyt vi kunne, noe som nok ikke var så høyt. Disse tellende tallene eller naturlige tallene var de eneste tallene vi visste om.

Senere, når du arbeider med subtraksjon, negativ hele tall ble innført. Settet med positive og negative hele tall kalles settet med heltall. Kort tid etter dette ble rasjonelle tall, også kalt brøker vurdert. Siden hvert heltall kan skrives som en brøk med 1 i nevneren, sier vi at heltallene utgjør en delmengde av de rasjonelle tallene.

De gamle grekere innså at ikke alle tall kan dannes som en brøk. For eksempel kan kvadratroten av 2 ikke uttrykkes som en brøk. Slike tall kalles irrasjonelle tall. Irrasjonelle tall florerer, og noe overraskende i en viss forstand er det flere irrasjonelle tall enn rasjonelle tall. Andre irrasjonelle tall inkluderer pi og og .

Desimalutvidelser

Hvert reelt tall kan skrives som en desimal. Ulike typer reelle tall har forskjellige typer desimalutvidelser. Desimalutvidelsen av et rasjonelt tall er avsluttende, for eksempel 2, 3,25 eller 1,2342, eller repeterende, for eksempel .33333. . . Eller .123123123. . . I motsetning til dette er desimalutvidelsen av et irrasjonelt tall ikke-avsluttende og ikke-repeterende. Vi kan se dette i desimalutvidelsen av pi. Det er en uendelig rekke med sifre for pi, og dessuten er det ingen sifrere som gjentar seg selv i det uendelige.

Visualisering av reelle tall

De reelle tallene kan visualiseres ved å knytte hvert enkelt av dem til et av det uendelige antallet punkter langs en rett linje. De reelle tallene har en rekkefølge, noe som betyr at for to forskjellige reelle tall kan vi si at det ene er større enn det andre. Etter konvensjon tilsvarer flytting til venstre langs den reelle talllinjen mindre og mindre tall. Å bevege seg til høyre langs den reelle talllinjen tilsvarer stadig større tall.

Grunnleggende egenskaper for de reelle tallene

De reelle tallene oppfører seg som andre tall som vi er vant til å forholde oss til. Vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dele dem (så lenge vi ikke deler på null). Rekkefølgen for addisjon og multiplikasjon er uviktig, siden det er en kommutativ egenskap. En distributiv egenskap forteller oss hvordan multiplikasjon og addisjon samhandler med hverandre.

Som nevnt før har de reelle tallene en rekkefølge. Gitt to reelle tall x og Y , vi vet at én og bare ett av følgende er sant:

x = Y , x < Y eller x > Y .

En annen eiendom - fullstendighet

Egenskapen som skiller de reelle tallene fra andre sett med tall, som rasjonalene, er en egenskap kjent som fullstendighet. Fullstendighet er litt teknisk å forklare, men den intuitive oppfatningen er at settet med rasjonelle tall har hull i seg. Settet med reelle tall har ingen hull, fordi det er komplett.

Som en illustrasjon skal vi se på rekkefølgen av rasjonelle tall 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, . . . Hvert ledd i denne sekvensen er en tilnærming til pi, oppnådd ved å avkorte desimalutvidelsen for pi. Vilkårene i denne sekvensen kommer nærmere og nærmere pi. Imidlertid, som vi har nevnt, er ikke pi et rasjonelt tall. Vi må bruke irrasjonelle tall for å plugge inn hullene på talllinjen som oppstår ved kun å vurdere de rasjonelle tallene.

Hvor mange reelle tall?

Det burde ikke være noen overraskelse at det finnes et uendelig antall reelle tall. Dette kan sees ganske enkelt når vi tenker på at hele tall utgjør en delmengde av de reelle tallene. Vi kunne også se dette ved å innse at tallinjen har et uendelig antall punkter.

Det som er overraskende er at uendeligheten som brukes til å telle de reelle tallene er av en annen type enn uendeligheten som brukes til å telle hele tallene. Heltall, heltall og rasjonaler er tellelig uendelige. Settet med reelle tall er utallig uendelig.

Hvorfor kalle dem ekte?

Reelle tall får navnet sitt for å skille dem fra en enda ytterligere generalisering til begrepet tall. Det imaginære tallet Jeg er definert til å være kvadratroten av negativ. Ethvert reelt tall multiplisert med Jeg er også kjent som et imaginært tall. Imaginære tall strekker definitivt vår oppfatning av tall, siden de slett ikke er det vi tenkte på da vi først lærte å telle.