Fakta om nummeret e: 2.7182818284590452...

C.K. Taylor

Hvis du spurte noen om å navngi hans eller hennes matematiske favorittkonstant, ville du sannsynligvis fått noen spørrende blikk. Etter en stund kan noen melde seg frivillig at beste konstant er pi . Men dette er ikke den eneste viktige matematiske konstanten. En nær andre, om ikke utfordrer til kronen av mest allestedsnærværende konstant er og . Dette tallet vises i kalkulus, tallteori, sannsynlighet og statistikk . Vi vil undersøke noen av egenskapene til dette bemerkelsesverdige tallet, og se hvilke sammenhenger det har med statistikk og sannsynlighet.

Verdien av og

Som pi, og er en irrasjonell ekte nummer . Dette betyr at det ikke kan skrives som en brøk, og at desimalutvidelsen fortsetter for alltid uten gjentatte tallblokker som gjentar seg kontinuerlig. Antallet og er også transcendental, noe som betyr at det ikke er roten til et polynom som ikke er null med rasjonelle koeffisienter. De første femti desimalene til er gitt av og = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definisjon av og

Antallet og ble oppdaget av folk som var nysgjerrige på renters rente. I denne formen for rente, tjener hovedstolen renter og deretter genererer rentene renter på seg selv. Det ble observert at jo større frekvens av sammensetningsperioder per år, desto høyere genererte rentebeløp. For eksempel kan vi se på at interessen blir forsterket:

• Årlig, eller en gang i året
• Halvårlig, eller to ganger i året
• Månedlig, eller 12 ganger i året
• Daglig, eller 365 ganger i året

Det totale rentebeløpet øker for hver av disse sakene.

Det oppsto et spørsmål om hvor mye penger man kunne tjene i renter. For å forsøke å tjene enda mer penger kunne vi i teorien øke antallet sammensatte perioder til så høyt tall som vi ønsket. Sluttresultatet av denne økningen er at vi vil vurdere at renten økes kontinuerlig.

Mens interessen som genereres øker, gjør den det veldig sakte. Den totale mengden penger på kontoen stabiliserer seg faktisk, og verdien som dette stabiliserer seg til er og . For å uttrykke dette ved hjelp av en matematisk formel sier vi at grensen som n økninger på (1+1/ n ) ⁿ = og .

Bruk av og

Antallet og dukker opp gjennom matematikken. Her er noen av stedene den dukker opp:

• Det er grunnlaget for den naturlige logaritmen. Siden Napier oppfant logaritmer, og blir noen ganger referert til som Napiers konstant.
• I kalkulus, eksponentialfunksjonen og^x har den unike egenskapen å være sitt eget derivat.
• Uttrykk som involverer og^x og og^-x kombineres for å danne de hyperbolske sinus- og hyperbolske cosinusfunksjonene.
• Takket være arbeidet til Euler vet vi at de grunnleggende konstantene i matematikk henger sammen med formelen og^iΠ +1=0, hvor Jeg er det imaginære tallet som er kvadratroten av negativt.
• Antallet og viser seg i ulike formler gjennom matematikk, spesielt området for tallteori.

Verdien og i statistikk

Betydningen av tallet og er ikke begrenset til bare noen få områder av matematikken. Det er også flere bruksområder for nummeret og i statistikk og sannsynlighet. Noen av disse er som følger:

• Antallet og gjør en opptreden i formel for gammafunksjonen .
• Formlene for standard normalfordeling involverer og til en negativ makt. Denne formelen inkluderer også pi.
• Mange andre distribusjoner innebærer bruk av nummeret og . For eksempel inneholder formlene for t-fordelingen, gammafordelingen og kjikvadratfordelingen alle tallet og .