The Number Pi: ​​3.14159265...

Pi. Carol Yepes/Getty Images

En av de mest brukte konstantene gjennom matematikk er tallet pi, som er betegnet med den greske bokstaven π. Konseptet pi har sin opprinnelse i geometri, men dette tallet har anvendelser gjennom matematikk og dukker opp i vidtgående fag, inkludert statistikk og sannsynlighet. Pi har til og med fått kulturell anerkjennelse og sin egen høytid, med feiringen av Pi Day aktiviteter jorden rundt.

Verdien av Pi

Pi er definert som forholdet mellom en sirkels omkrets og diameteren. Verdien av pi er litt større enn tre, noe som betyr at hver sirkel i universet har en omkrets med en lengde som er litt mer enn tre ganger diameteren. Mer presist har pi en desimalrepresentasjon som begynner 3.14159265... Dette er bare en del av desimalutvidelsen av pi.

Pi-fakta

Pi har mange fascinerende og uvanlige funksjoner, inkludert:

• Pi er en irrasjonell ekte nummer . Dette betyr at pi ikke kan uttrykkes som en brøk a/b hvor en og b er begge deler heltall . Selv om tallene 22/7 og 355/113 er nyttige for å estimere pi, er ingen av disse brøkene den sanne verdien av pi.
• Fordi pi er et irrasjonelt tall, vil desimalutvidelsen aldri avsluttes eller gjentas. Det er noen spørsmål angående denne desimalutvidelsen, for eksempel: Vises alle mulige sifferstrenger et sted i desimalutvidelsen til pi? Hvis alle mulige strenger vises, er mobiltelefonnummeret ditt et sted i utvidelsen av pi (men det er alle andres også).
• Pi er et transcendentalt tall. Dette betyr at pi ikke er null i et polynom med heltallskoeffisienter. Dette faktum er viktig når du utforsker mer avanserte funksjoner i pi.
• Pi er viktig geometrisk, og ikke bare fordi den relaterer omkretsen og diameteren til en sirkel. Dette tallet vises også i formelen for arealet av en sirkel. Arealet av en sirkel med radius r er EN = pi r ^to. Tallet pi brukes i andre geometriske formler, for eksempel overflatearealet og volumet til en kule, volumet til en kjegle og volumet til en sylinder med en sirkulær base.
• Pi vises når minst forventet. For ett av mange eksempler på dette, vurder den uendelige summen 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 +... Denne summen konvergerer til verdien pi^to/6.

Pi i statistikk og sannsynlighet

Pi gjør overraskende opptredener gjennom matematikk, og noen av disse opptredenene er i fagene sannsynlighet og statistikk. Formelen for standard normalfordeling , også kjent som klokkekurven, har tallet pi som en normaliseringskonstant. Med andre ord, ved å dele med et uttrykk som involverer pi kan du si at arealet under kurven er lik én. Pi er en del av formlene for andre sannsynlighetsfordelinger også.

En annen overraskende forekomst av pi i sannsynlighet er et flere hundre år gammelt nålekastingseksperiment. På 1700-tallet, Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon stilte et spørsmål angående sannsynligheten for å slippe nåler: Start med et gulv med planker av tre med jevn bredde der linjene mellom hver av plankene er parallelle med hverandre. Ta en nål med en lengde som er kortere enn avstanden mellom plankene. Hvis du mister en nål på gulvet, hva er sannsynligheten for at den lander på en linje mellom to av treplankene?

Som det viser seg, er sannsynligheten for at nålen lander på en linje mellom to planker to ganger lengden på nålen delt på lengden mellom plankene ganger pi.