Hva er sannsynlighetsaksiomer?
De tre sannsynlighetsaksiomene. C.K. Taylor
En strategi i matematikk er å starte med noen få påstander, for så å bygge opp mer matematikk fra disse påstandene. Startsetningene er kjent som aksiomer. Et aksiom er typisk noe som er matematisk selvinnlysende. Fra en relativt kort liste over aksiomer brukes deduktiv logikk for å bevise andre utsagn, kalt teoremer eller påstander.
Området for matematikk kjent som sannsynlighet er ikke annerledes. Sannsynlighet kan reduseres til tre aksiomer. Dette ble først gjort av matematikeren Andrei Kolmogorov. Den håndfull aksiomer som er underliggende sannsynlighet kan brukes til å utlede alle sorterer av resultater. Men hva er disse sannsynlighetsaksiomene?
Definisjoner og foreløpig
For å forstå aksiomene for sannsynlighet må vi først diskutere noen grunnleggende definisjoner. Vi antar at vi har et sett med utfall kalt prøverommet S. Dette prøverommet kan betraktes som det universelle settet for situasjonen vi studerer. Prøverommet består av undersett kalt hendelser OG 1, OG to, . . ., OGn .
Vi antar også at det er en måte å tilordne en sannsynlighet til enhver hendelse OG . Dette kan tenkes på som en funksjon som har et sett for en inngang, og en ekte nummer som en utgang. Sannsynligheten for begivenhet OG er betegnet med P ( OG ).
Axiom One
Det første sannsynlighetsaksiomet er at sannsynligheten for enhver hendelse er et ikke-negativt reelt tall. Dette betyr at den minste sannsynligheten noen gang kan være er null og at den ikke kan være uendelig. Settet med tall vi kan bruke er reelle tall. Dette refererer til både rasjonelle tall, også kjent som brøker, og irrasjonelle tall som ikke kan skrives som brøker.
En ting å merke seg er at dette aksiomet ikke sier noe om hvor stor sannsynligheten for en hendelse kan være. Aksiomet eliminerer muligheten for negative sannsynligheter. Det gjenspeiler forestillingen om at minste sannsynlighet, reservert for umulige hendelser, er null.
Aksiom to
Det andre sannsynlighetsaksiomet er at sannsynligheten for hele prøverommet er én. Symbolsk skriver vi P ( S ) = 1. Implisitt i dette aksiomet er forestillingen om at prøverommet er alt mulig for vårt sannsynlighetseksperiment og at det ikke er noen hendelser utenfor prøverommet.
I seg selv setter ikke dette aksiomet en øvre grense for sannsynlighetene for hendelser som ikke er hele prøverommet. Det gjenspeiler at noe med absolutt sikkerhet har en sannsynlighet på 100 %.
Aksiom tre
Det tredje sannsynlighetsaksiomet omhandler gjensidig utelukkende hendelser. Hvis OG 1og OG toer gjensidig utelukkende , noe som betyr at de har et tomt kryss og vi bruker U for å betegne foreningen, da P ( OG 1I OG to) = P ( OG 1) + P ( OG to).
Aksiomet dekker faktisk situasjonen med flere (til og med tellende uendelige) hendelser, hvor hvert par er gjensidig utelukkende. Så lenge dette skjer, vil sannsynligheten for foreningen av hendelsene er den samme som summen av sannsynlighetene:
P ( OG 1I OG toI . . . I OGn ) = P ( OG 1) + P ( OG to) + . . . + OGn
Selv om dette tredje aksiomet kanskje ikke virker så nyttig, vil vi se at kombinert med de to andre aksiomene er det ganske kraftig.
Axiom-applikasjoner
De tre aksiomene setter en øvre grense for sannsynligheten for enhver hendelse. Vi betegner komplementet til arrangementet OG av OG C. Fra settteori, OG og OG Char et tomt veikryss og utelukker hverandre. Dessuten OG I OG C= S , hele prøverommet.
Disse fakta, kombinert med aksiomene gir oss:
1 = P ( S ) = P ( OG I OG C) = P ( OG ) + P ( OG C).
Vi omorganiserer ligningen ovenfor og ser det P ( OG ) = 1 - P ( OG C). Siden vi vet at sannsynligheter må være ikke-negative, har vi nå at en øvre grense for sannsynligheten for enhver hendelse er 1.
Ved å omorganisere formelen igjen har vi P ( OGC ) = 1 - P ( OG ). Vi kan også utlede fra denne formelen at sannsynligheten for at en hendelse ikke inntreffer er én minus sannsynligheten for at den inntreffer.
Ovennevnte ligning gir oss også en måte å beregne sannsynligheten for den umulige hendelsen, angitt med det tomme settet. For å se dette, husk at det tomme settet er komplementet til det universelle settet, i dette tilfellet S C. Siden 1 = P ( S ) + P ( S C) = 1 + P ( S C), av algebra vi har P ( S C) = 0.
Ytterligere applikasjoner
Ovennevnte er bare et par eksempler på egenskaper som kan bevises direkte fra aksiomene. Det er mange flere resultater i sannsynlighet. Men alle disse teoremene er logiske utvidelser fra de tre sannsynlighetsaksiomene.