Konfidensintervall for forskjellen mellom to befolkningsandeler

Formel for konfidensintervall for forskjell på to proporsjoner. C.K. skredder

Konfidensintervaller er en del av inferensiell statistikk . Den grunnleggende ideen bak dette emnet er å estimere verdien av en ukjent populasjon parameter ved å bruke et statistisk utvalg. Vi kan ikke bare estimere verdien av en parameter, men vi kan også tilpasse metodene våre for å estimere forskjellen mellom to relaterte parametere. For eksempel kan det være lurt å finne forskjellen i prosentandelen av den mannlige amerikanske stemmeberettigede befolkningen som støtter en bestemt lovgivning sammenlignet med den kvinnelige stemmeberettigede befolkningen.

Vi vil se hvordan du gjør denne typen beregninger ved å konstruere et konfidensintervall for forskjellen mellom to populasjonsproporsjoner. I prosessen vil vi undersøke noe av teorien bak denne beregningen. Vi vil se noen likheter i hvordan vi konstruerer en konfidensintervall for en enkelt populasjonsandel samt en konfidensintervall for forskjellen mellom to populasjonsmiddelverdier .

Generelt

Før vi ser på den spesifikke formelen vi skal bruke, la oss vurdere det generelle rammeverket som denne typen konfidensintervall passer inn i. Formen for typen konfidensintervall som vi skal se på er gitt av følgende formel:

Estimat +/- Feilmargin

Mange konfidensintervaller er av denne typen. Det er to tall vi må regne ut. Den første av disse verdiene er estimatet for parameteren. Den andre verdien er feilmarginen. Denne feilmarginen forklarer det faktum at vi har et estimat. Konfidensintervallet gir oss en rekke mulige verdier for vår ukjente parameter.

Forhold

Vi bør sørge for at alle betingelsene er oppfylt før vi gjør noen beregninger. For å finne et konfidensintervall for forskjellen mellom to populasjonsproporsjoner, må vi sørge for at følgende gjelder:

• Vi har to enkle stikkprøver fra store populasjoner. Her betyr 'stor' at populasjonen er minst 20 ganger større enn utvalgets størrelse. Prøvestørrelsene vil bli merket med n ₁og n _to.
• Våre individer er valgt uavhengig av hverandre.
• Det er minst ti suksesser og ti feil i hver av prøvene våre.

Hvis det siste elementet i listen ikke er oppfylt, kan det være en vei rundt dette. Vi kan modifisere pluss-fire konfidensintervall bygge og få robuste resultater . Når vi går fremover, antar vi at alle vilkårene ovenfor er oppfylt.

Utvalg og befolkningsandeler

Nå er vi klare til å konstruere vårt konfidensintervall. Vi starter med anslaget for forskjellen mellom våre befolkningsandeler. Begge disse populasjonsandelene er estimert med en utvalgsandel. Disse prøveandelene er statistikk som er funnet ved å dele antall suksesser i hvert utvalg, og deretter dele på den respektive prøvestørrelsen.

Den første befolkningsandelen er betegnet med s ₁. Hvis antall suksesser i vårt utvalg fra denne populasjonen er k ₁, så har vi en prøveandel på k ₁ / n _1.

Vi betegner denne statistikken med p₁. Vi leser dette symbolet som 's₁-hat' fordi det ser ut som symbolet p₁med lue på toppen.

På lignende måte kan vi beregne en utvalgsandel fra vår andre populasjon. Parameteren fra denne populasjonen er s _to. Hvis antall suksesser i vårt utvalg fra denne populasjonen er k _to, og vår prøveandel er p̂_to = k _to / n _to.

Disse to statistikkene blir den første delen av vårt konfidensintervall. Anslaget på s ₁er P₁. Anslaget på s _toer P_to.Altså anslaget for forskjellen s ₁- s _toer P₁- p̂_to.

Prøvetakingsfordeling av forskjellen mellom prøveandeler

Deretter må vi finne formelen for feilmarginen. For å gjøre dette vil vi først vurdere prøvetakingsfordeling av p₁. Dette er en binomialfordeling med sannsynlighet for suksess s ₁og n ₁prøvelser. Gjennomsnittet av denne fordelingen er andelen s ₁. Standardavviket til denne typen tilfeldige variable har varians på s ₁(1 - s ₁)/ n ₁.

Prøvefordelingen av p̂_toligner på p̂₁. Bare endre alle indeksene fra 1 til 2 og vi har en binomialfordeling med gjennomsnittet av p_toog variasjon av s _to(1 - s _to)/ n _to.

Vi trenger nå noen få resultater fra matematisk statistikk for å bestemme prøvefordelingen av p₁- p̂_to. Gjennomsnittet for denne fordelingen er s ₁- s _to. På grunn av at variansene legges sammen, ser vi at variansen i utvalgsfordelingen er s ₁(1 - s ₁)/ n ₁+ s _to(1 - s _to)/ n _to.Standardavviket til fordelingen er kvadratroten av denne formelen.

Det er et par justeringer vi må gjøre. Den første er at formelen for standardavviket til p̂₁- p̂_tobruker de ukjente parameterne til s ₁og s _to. Selvfølgelig hvis vi virkelig kjente til disse verdiene, ville det ikke vært et interessant statistisk problem i det hele tatt. Vi trenger ikke å anslå forskjellen mellom s ₁og s _to..I stedet kan vi ganske enkelt beregne den nøyaktige forskjellen.

Dette problemet kan løses ved å beregne en standardfeil i stedet for et standardavvik. Alt vi trenger å gjøre er å erstatte populasjonsandeler med utvalgsandeler. Standardfeil beregnes ut fra statistikk i stedet for parametere. En standardfeil er nyttig fordi den effektivt estimerer et standardavvik. Hva dette betyr for oss er at vi ikke lenger trenger å vite verdien av parameterne s ₁og s _to. . Siden disse prøveproporsjonene er kjent, er standardfeilen gitt av kvadratroten av følgende uttrykk:

p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_to(1 - p̂_to)/ n _to.

Det andre elementet vi må ta opp er den spesielle formen for prøvefordelingen vår. Det viser seg at vi kan bruke en normalfordeling for å tilnærme samplingsfordelingen til p̂₁- p̂_to. Årsaken til dette er noe teknisk, men er skissert i neste avsnitt.

Både p̂₁og p_toha en samplingsfordeling som er binomial. Hver av disse binomialfordelingene kan tilnærmes ganske godt med en normalfordeling. Altså p₁- p̂_toer en tilfeldig variabel. Den er dannet som en lineær kombinasjon av to tilfeldige variabler. Hver av disse er tilnærmet med en normalfordeling. Derfor er prøvefordelingen av p̂₁- p̂_toer også normalfordelt.

Konfidensintervallformel

Vi har nå alt vi trenger for å sette sammen konfidensintervallet vårt. Anslaget er (p̂₁- p̂_to) og feilmarginen er Med* [ p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_to(1 - p̂_to)/ n _to.]^0,5. Verdien vi skriver inn for Med* er diktert av nivået av tillit C. Vanlig brukte verdier for Med* er 1,645 for 90 % konfidens og 1,96 for 95 % konfidens. Disse verdiene for Med* angi delen av standard normalfordeling hvor nøyaktig C prosent av fordelingen er mellom -Med* og Med*.

Følgende formel gir oss et konfidensintervall for forskjellen mellom to populasjonsproporsjoner:

(p̂₁- p̂_to) +/- Med* [ p̂₁(1 - p̂₁)/ n ₁+ p̂_to(1 - p̂_to)/ n _to.]^0,5