Eksempel på konfidensintervall for en populasjonsvariasjon

C.K. Taylor

Populasjonsvariansen gir en indikasjon på hvordan man kan spre et datasett. Dessverre er det vanligvis umulig å vite nøyaktig hva denne populasjonsparameteren er. For å kompensere for mangelen på kunnskap bruker vi et emne fra konklusjonsstatistikk kalt konfidensintervaller . Vi vil se et eksempel på hvordan man beregner et konfidensintervall for en populasjonsavvik

Konfidensintervallformel

Formelen for (1 - α) konfidensintervall om populasjonsvariansen . Er gitt av følgende streng av ulikheter:

[ ( n - 1) s ^to] / B <σ^to <[ ( n - 1) s ^to] / EN .

Her n er prøvestørrelsen, s ^toer prøvevariansen. Antallet EN er poenget med kjikvadratfordelingen med n -1 frihetsgrader hvor nøyaktig α/2 av arealet under kurven er til venstre for EN . På lignende måte, tallet B er punktet for samme kjikvadratfordeling med nøyaktig α/2 av arealet under kurven til høyre for B .

Innledende

Vi begynner med et datasett med 10 verdier. Dette settet med dataverdier ble oppnådd ved et enkelt tilfeldig utvalg:

97, 75, 124, 106, 120, 131, 94, 97,96, 102

Noen utforskende dataanalyser vil være nødvendig for å vise at det ikke er noen uteliggere. Ved å konstruere en stilk og bladplott vi ser at disse dataene sannsynligvis kommer fra en fordeling som er tilnærmet normalfordelt. Dette betyr at vi kan fortsette med å finne et 95 % konfidensintervall for populasjonsvariansen.

Eksempelvarians

Vi må estimere populasjonsvariansen med utvalgsvariansen, angitt med s ^to. Så vi begynner med å beregne denne statistikken. I hovedsak er vi gjennomsnittlig summen av kvadrerte avvik fra gjennomsnittet. Men heller enn å dele denne summen med n vi deler det med n - 1.

Vi finner at prøvegjennomsnittet er 104,2. Ved å bruke dette har vi summen av kvadrerte avvik fra gjennomsnittet gitt av:

(97 – 104,2)^to+ (75 – 104,3)^to+ . . . + (96 – 104,2)^to+ (102 – 104,2)^to= 2495,6

Vi deler denne summen med 10 – 1 = 9 for å få en prøvevarians på 277.

Chi-Square Distribusjon

Vi går nå til vår kjikvadratfordeling. Siden vi har 10 dataverdier, har vi 9 grader av frihet . Siden vi vil ha de midterste 95 % av distribusjonen vår, trenger vi 2,5 % i hver av de to halene. Vi konsulterer en kjikvadrattabell eller programvare og ser at tabellverdiene på 2.7004 og 19.023 omslutter 95 % av distribusjonens areal. Disse tallene er EN og B , henholdsvis.

Vi har nå alt vi trenger, og vi er klare til å sette sammen vårt konfidensintervall. Formelen for venstre endepunkt er [( n - 1) s ^to] / B . Dette betyr at vårt venstre endepunkt er:

(9 x 277)/19.023 = 133

Det riktige endepunktet blir funnet ved å erstatte B med EN :

(9 x 277)/2,7004 = 923

Så vi er 95 % sikre på at populasjonsvariasjonen ligger mellom 133 og 923.

Populasjonsstandardavvik

Selvfølgelig, siden standardavviket er kvadratroten av variansen, kan denne metoden brukes til å konstruere et konfidensintervall for populasjonsstandardavviket. Alt vi trenger å gjøre er å ta kvadratrøtter av endepunktene. Resultatet vil være et 95 % konfidensintervall for standardavvik .