Sum of Squares Formel Snarvei
Summen av kvadrater formel snarvei. C.K. Taylor
Beregningen av en prøve varians eller standardavvik er vanligvis oppgitt som en brøkdel. Telleren til denne brøken innebærer en sum av kvadrerte avvik fra gjennomsnittet. I statistikk , er formelen for denne totale summen av kvadrater
S (xJeg- x̄)to
Her refererer symbolet x̄ til prøvegjennomsnittet, og symbolet Σ forteller oss å legge sammen de kvadratiske forskjellene (xJeg- x̄) for alle Jeg .
Selv om denne formelen fungerer for beregninger, er det en ekvivalent snarveisformel som ikke krever at vi først beregner prøvegjennomsnitt . Denne snarveisformelen for summen av kvadrater er
S(xJegto)-(S xJeg)to/ n
Her er variabelen n refererer til antall datapunkter i vårt utvalg.
Eksempel på standard formel
For å se hvordan denne snarveisformelen fungerer, vil vi vurdere et eksempel som er beregnet ved hjelp av begge formlene. Anta at utvalget vårt er 2, 4, 6, 8. Prøvegjennomsnittet er (2 + 4 + 6 + 8)/4 = 20/4 = 5. Nå beregner vi forskjellen mellom hvert datapunkt med gjennomsnittet 5.
- 2 – 5 = -3
- 4 – 5 = -1
- 6 – 5 = 1
- 8 – 5 = 3
Vi kvadrerer nå hvert av disse tallene og legger dem sammen. (-3)to+ (-1)to+ 1to+ 3to= 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
Eksempel på snarveisformel
Nå skal vi bruke det samme settet med data: 2, 4, 6, 8, med snarveisformelen for å bestemme summen av kvadrater. Vi kvadrerer først hvert datapunkt og legger dem sammen: 2to+ 4to+ 6to+ 8to= 4 + 16 + 36 + 64 = 120.
Det neste trinnet er å legge sammen alle dataene og kvadrere denne summen: (2 + 4 + 6 + 8)to= 400. Vi deler dette på antall datapunkter for å få 400/4 =100.
Vi trekker nå dette tallet fra 120. Dette gir oss at summen av kvadrerte avvik er 20. Dette var akkurat det tallet vi allerede har funnet fra den andre formelen.
Hvordan virker dette?
Mange vil bare akseptere formelen til pålydende og har ingen anelse om hvorfor denne formelen fungerer. Ved å bruke litt algebra kan vi se hvorfor denne snarveisformelen tilsvarer den tradisjonelle, tradisjonelle måten å beregne summen av kvadrerte avvik.
Selv om det kan være hundrevis, om ikke tusenvis av verdier i et datasett fra den virkelige verden, vil vi anta at det bare er tre dataverdier: x1, xto, x3. Det vi ser her kan utvides til et datasett som har tusenvis av punkter.
Vi begynner med å merke oss at( x1+ xto+ x3) = 3 x̄. Uttrykket Σ(xJeg- x̄)to= (x1- x̄)to+ (xto- x̄)to+ (x3- x̄)to.
Vi bruker nå det faktum fra grunnleggende algebra at (a + b)to= ato+2ab + bto. Dette betyr at (x1- x̄)to= x1to-2x1x̄+ x̄to. Vi gjør dette for de to andre leddene i summeringen vår, og vi har:
x1to-2x1x̄+ x̄to+ xtoto-2xtox̄+ x̄to+ x3to-2x3x̄+ x̄to.
Vi omorganiserer dette og har:
x1to+ xtoto+ x3to+ 3x̄to- 2x̄(x1+ xto+ x3).
Ved å omskrive (x1+ xto+ x3) = 3x̄ ovenfor blir:
x1to+ xtoto+ x3to- 3x̄to.
Nå siden 3x̄to= (x1+ xto+ x3)to/3, vår formel blir:
x1to+ xtoto+ x3to- (x1+ xto+ x3)to/3
Og dette er et spesielt tilfelle av den generelle formelen som ble nevnt ovenfor:
S(xJegto)-(S xJeg)to/ n
Er det virkelig en snarvei?
Det kan ikke virke som om denne formelen virkelig er en snarvei. Tross alt, i eksemplet ovenfor ser det ut til at det er like mange beregninger. Noe av dette har å gjøre med at vi kun så på en utvalgsstørrelse som var liten.
Når vi øker størrelsen på utvalget vårt, ser vi at snarveisformelen reduserer antallet beregninger med omtrent det halve. Vi trenger ikke å trekke gjennomsnittet fra hvert datapunkt og deretter kvadrere resultatet. Dette reduserer det totale antallet operasjoner betydelig.