Sannsynligheten for å rulle en Yahtzee

Tobias Raddau/EyeEm/Getty Images

Yahtzee er et terningspill som involverer en kombinasjon av sjanser og strategi. En spiller begynner sin tur med å kaste fem terninger. Etter dette kastet kan spilleren bestemme seg for å kaste et hvilket som helst antall av terningene på nytt. På det meste er det totalt tre kast for hver tur. Etter disse tre kastene føres resultatet av terningen inn på et resultatark. Dette resultatarket inneholder forskjellige kategorier, for eksempel en fullt hus eller stor rett . Hver av kategoriene er fornøyd med ulike kombinasjoner av terninger.

Den vanskeligste kategorien å fylle ut er den til en Yahtzee. En Yahtzee oppstår når en spiller kaster fem med samme tall. Hvor usannsynlig er en Yahtzee? Dette er et problem som er mye mer komplisert enn å finne sannsynligheter for to eller tre terninger . Hovedårsaken er at det er mange måter å få fem matchende terninger i løpet av tre kast.

Vi kan beregne sannsynligheten for å rulle en Yahtzee ved å bruke den kombinatoriske formelen for kombinasjoner, og ved å dele opp problemet i flere gjensidig utelukkende saker.

En rull

Det enkleste tilfellet å vurdere er å få en Yahtzee umiddelbart på første kast. Vi vil først se påsannsynlighetå rulle en bestemt Yahtzee på fem toere, og deretter enkelt utvide dette til sannsynligheten for en hvilken som helst Yahtzee.

Sannsynligheten for å kaste en toer er 1/6, og utfallet av hver terning er uavhengig av resten. Dermed er sannsynligheten for å kaste fem toere (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Sannsynligheten for å kaste fem av en slags et hvilket som helst annet tall er også 1/7776. Siden det er totalt seks forskjellige tall på en terning, multipliserer vi sannsynligheten ovenfor med 6.

Dette betyr at sannsynligheten for en Yahtzee på første kast er 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 prosent.

To ruller

Hvis vi kaster noe annet enn fem av en slags første kast, må vi kaste noen av terningene våre på nytt for å prøve å få en Yahtzee. Anta at vårt første kast har fire like. vi ville kastet den ene terningen som ikke stemmer på nytt, og deretter få en Yahtzee på dette andre kastet.

Sannsynligheten for å rulle totalt fem toere på denne måten er funnet som følger:

1. På første kast har vi fire toere. Siden det er en sannsynlighet 1/6 for å kaste en toer, og 5/6 for å ikke kaste en toer, multipliserer vi (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Hvilken som helst av de femterninger kastetkan være ikke-to. Vi bruker kombinasjonsformelen vår for C(5, 1) = 5 for å telle hvor mange måter vi kan kaste fire toere og noe som ikke er en toer.
3. Vi multipliserer og ser at sannsynligheten for å kaste nøyaktig fire toere på første kast er 25/7776.
4. På det andre kastet må vi beregne sannsynligheten for å kaste en to. Dette er 1/6. Dermed er sannsynligheten for å rulle en Yahtzee av toer på måten ovenfor (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

For å finne sannsynligheten for å kaste en hvilken som helst Yahtzee på denne måten finner man ved å multiplisere sannsynligheten ovenfor med 6 fordi det er seks forskjellige tall på en terning. Dette gir en sannsynlighet på 6 x 25/46656 = 0,32 prosent.

Men dette er ikke den eneste måten å rulle en Yahtzee med to rundstykker. Alle de følgende sannsynlighetene er funnet på omtrent samme måte som ovenfor:

• Vi kunne kaste tre like, og deretter to terninger som matcher på vårt andre kast. Sannsynligheten for dette er 6 x C(5 ,3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 prosent.
• Vi kunne kaste et matchende par, og på vårt andre kaste terninger tre som matcher. Sannsynligheten for dette er 6 x C(5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 prosent.
• Vi kunne kaste fem forskjellige terninger, redde en terning fra vårt første kast, og deretter kaste fire terninger som passer på det andre kastet. Sannsynligheten for dette er (6!/7776) x (1/1296) = 0,01 prosent.

De ovennevnte tilfellene utelukker hverandre. Dette betyr at for å beregne sannsynligheten for å rulle en Yahtzee i to kast, legger vi sammen sannsynlighetene ovenfor og vi har omtrent 1,23 prosent.

Tre ruller

For den mest kompliserte situasjonen til nå, vil vi nå undersøke tilfellet der vi bruker alle tre rullene våre for å skaffe en Yahtzee. Vi kan gjøre dette på flere måter og må redegjøre for alle.

Sannsynlighetene for disse mulighetene beregnes nedenfor:

• Sannsynligheten for å kaste fire like, deretter ingenting, og deretter matche den siste terningen på siste kast er 6 x C(5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste tre like, deretter ingenting, og deretter matche med riktig par på siste kast er 6 x C(5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste et matchende par, deretter ingenting, og deretter matche med den riktige treeren på det tredje kastet er 6 x C(5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) ) = 0,21 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste en enkelt terning, så ingenting som matcher dette, og deretter matche med den riktige fireren på det tredje kast er (6!/7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste tre like, matche en ekstra terning på neste kast, etterfulgt av å matche den femte terningen på det tredje kast er 6 x C(5, 3) x (25/7776) x C(2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste et par, matche et ekstra par på neste kast, etterfulgt av å matche den femte terningen på det tredje kast er 6 x C(5, 2) x (100/7776) x C(3, 2) x ( 5/216) x (1/6) = 0,89 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste et par, matche en ekstra terning på neste kast, etterfulgt av å matche de to siste terningene på det tredje kast er 6 x C(5, 2) x (100/7776) x C(3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste en av et slag, en annen terning for å matche den på det andre kast, og deretter en treer på det tredje kast er (6!/7776) x C(4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste en av et slag, en treer for å matche på det andre kastet, etterfulgt av en kamp på det tredje kastet er (6!/7776) x C(4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02 prosent.
• Sannsynligheten for å kaste en av et slag, et par for å matche det på det andre kastet, og deretter et annet par å matche på det tredje kastet er (6!/7776) x C(4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03 prosent.

Vi legger sammen alle de ovennevnte sannsynlighetene for å bestemme sannsynligheten for å kaste en Yahtzee i tre terningkast. Denne sannsynligheten er 3,43 prosent.

Total sannsynlighet

Sannsynligheten for en Yahtzee i ett kast er 0,08 prosent, sannsynligheten for en Yahtzee i to kast er 1,23 prosent og sannsynligheten for en Yahtzee i tre kast er 3,43 prosent. Siden hver av disse utelukker hverandre, legger vi sammen sannsynlighetene. Dette betyr at sannsynligheten for å få en Yahtzee i en gitt sving er omtrent 4,74 prosent. For å sette dette i perspektiv, siden 1/21 er omtrent 4,74 prosent, bør en spiller ved en tilfeldighet alene forvente en Yahtzee hver 21. omgang. I praksis kan det ta lengre tid ettersom et første par kan bli forkastet å rulle for noe annet, for eksempel en rett .