Sannsynligheten for fullt hus i Yahtzee i en enkelt rull

Virginia State Parks ansatte [CC BY 2.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/2.0)], via Wikimedia Commons

Spillet Yahtzee innebærer bruk av fem standard terninger. På hver tur får spillerne tre kast. Etter hvert kast kan et hvilket som helst antall terninger beholdes med målet å oppnå spesielle kombinasjoner av disse terningene. Hver forskjellig type kombinasjon er verdt et annet antall poeng.

En av disse typene kombinasjoner kalles fullt hus. Som et fullt hus i pokerspillet inkluderer denne kombinasjonen tre av et visst tall sammen med et par med et annet tall. Siden Yahtzee involverer tilfeldig terningkast, kan dette spillet analyseres ved å bruke sannsynlighet for å bestemme hvor sannsynlig det er å kaste et fullt hus i et enkelt kast.

Antagelser

Vi vil begynne med å angi våre forutsetninger. Vi antar at terningene som brukes er rettferdige og uavhengige av hverandre. Dette betyr at vi har et enhetlig prøverom bestående av alle mulige kast med de fem terningene. Selv om spillet Yahtzee tillater tre kast, vil vi bare vurdere tilfellet at vi får fullt hus i et enkelt kast.

Prøveplass

Siden vi jobber med en uniform prøverom , blir beregningen av vår sannsynlighet en beregning av et par telleoppgaver. Sannsynligheten for fullt hus er antall måter å rulle et fullt hus på, delt på antall utfall i prøverommet.

Antallet utfall i prøverommet er enkelt. Siden det er fem terninger og hver av disse terningene kan ha ett av seks forskjellige utfall, er antall utfall i prøverommet 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵= 7776.

Antall fulle hus

Deretter beregner vi antall måter å rulle et fullt hus på. Dette er et vanskeligere problem. For å ha fullt hus trenger vi tre av én type terninger, etterfulgt av et par av en annen type terninger. Vi deler dette problemet i to deler:

• Hvor mange forskjellige typer fulle hus som kan rulles?
• Hvor mange måter kan en bestemt type fullt hus rulles på?

Når vi vet antallet til hver av disse, kan vi multiplisere dem sammen for å gi oss det totale antallet fulle hus som kan rulles.

Vi begynner med å se på antall forskjellige typer fulle hus som kan rulles. Hvilke som helst av tallene 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 kan brukes for tre like. Det er fem gjenværende tall for paret. Dermed er det 6 x 5 = 30 forskjellige typer fullt hus-kombinasjoner som kan rulles.

For eksempel kan vi ha 5, 5, 5, 2, 2 som én type fullt hus. En annen type fullt hus vil være 4, 4, 4, 1, 1. En annen vil være 1, 1, 4, 4, 4, som er annerledes enn forrige fulle hus fordi rollene til firere og enere har blitt byttet om .

Nå bestemmer vi det forskjellige antallet måter å rulle et bestemt fullt hus på. For eksempel gir hvert av følgende oss det samme fullt hus på tre firere og to enere:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vi ser at det er minst fem måter å rulle et bestemt fullt hus på. Er det andre? Selv om vi fortsetter å liste opp andre muligheter, hvordan vet vi at vi har funnet dem alle?

Nøkkelen til å svare på disse spørsmålene er å innse at vi har å gjøre med et telleproblem og å finne ut hvilken type telleproblem vi jobber med. Det er fem stillinger, og tre av disse skal fylles med en fire. Rekkefølgen vi legger fireren i spiller ingen rolle så lenge de nøyaktige stillingene er fylt. Når posisjonen til fireren er bestemt, er plasseringen av enerne automatisk. Av disse grunnene må vi vurdere kombinasjon av fem stillinger tatt tre om gangen.

Vi bruker kombinasjonsformelen for å få C (5, 3 ) = 5!/(3!2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Dette betyr at det er 10 forskjellige måter å rulle et gitt fullt hus på.

Setter vi alt dette sammen, har vi vårt antall fulle hus. Det er 10 x 30 = 300 måter å få fullt hus i ett kast.

Sannsynlighet

Nå sannsynlighet for fullt hus er en enkel delingsberegning. Siden det er 300 måter å kaste fullt hus på i et enkelt kast og det er 7776 kast med fem terninger mulig, er sannsynligheten for å kaste fullt hus 300/7776, som er nær 1/26 og 3,85%. Dette er 50 ganger mer sannsynlig enn å rulle en Yahtzee i et enkelt kast.

Selvfølgelig er det svært sannsynlig at første kast ikke er fullt hus. Hvis dette er tilfelle, har vi lov til å kaste ytterligere to kast, noe som gjør fullt hus mye mer sannsynlig. Sannsynligheten for dette er mye mer komplisert å bestemme på grunn av alle mulige situasjoner som må vurderes.