Sannsynligheten for en stor straight i Yahtzee i en enkelt rull

CC0

Yahtzee er et terningspill som bruker fem standard sekssidige terninger. På hver tur får spillerne tre kast for å oppnå flere forskjellige mål. Etter hvert kast kan en spiller bestemme hvilken av terningene (hvis noen) som skal beholdes og hvilke som skal kastes på nytt. Målene inkluderer en rekke forskjellige typer kombinasjoner, hvorav mange er hentet fra poker. Hver forskjellig type kombinasjon er verdt et annet antall poeng.

To av typene kombinasjoner som spillere må rulle kalles rette : en liten rett og en stor rett. I likhet med pokerstraights består disse kombinasjonene av sekvensielle terninger. Små straighter bruker fire av de fem terningene og store straighter bruker alle fem terningene. På grunn av tilfeldigheten i terningkastingen, kan sannsynlighet brukes til å analysere hvor sannsynlig det er å kaste en stor straight i et enkelt kast.

Antagelser

Vi antar at terningene som brukes er rettferdige og uavhengige av hverandre. Dermed er det et enhetlig prøverom bestående av alle mulige kast med de fem terningene. Selv om Yahtzee tillater tre kast, vil vi for enkelhets skyld kun vurdere det tilfellet at vi får en stor straight i et enkelt kast.

Prøveplass

Siden vi jobber med en uniform prøverom , blir beregningen av vår sannsynlighet en beregning av et par telleoppgaver. Sannsynligheten for en straight er antall måter å kaste en straight på, delt på antall utfall i prøverommet.

Det er veldig enkelt å telle antall utfall i prøverommet. Vi kaster fem terninger og hver av disse terningene kan ha ett av seks forskjellige utfall. En grunnleggende anvendelse av multiplikasjonsprinsippet forteller oss at prøverommet har 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵= 7776 utfall. Dette tallet vil være nevneren for alle brøkene vi bruker for våre sannsynligheter.

Antall Straights

Deretter må vi vite hvor mange måter det er å rulle en stor straight. Dette er vanskeligere enn å beregne størrelsen på prøverommet. Grunnen til at dette er vanskeligere er fordi det er mer subtilitet i hvordan vi teller.

En stor straight er vanskeligere å rulle enn en liten straight, men det er lettere å telle antall måter å rulle en stor straight på enn antall måter å rulle en liten straight. Denne typen straight består av fem sekvensielle tall. Siden det bare er seks forskjellige tall på terningen, er det bare to mulige store straighter: {1, 2, 3, 4, 5} og {2, 3, 4, 5, 6}.

Nå bestemmer vi det forskjellige antallet måter å kaste et bestemt sett med terninger som gir oss en straight. For en stor straight med terningene {1, 2, 3, 4, 5} kan vi ha terningene i hvilken som helst rekkefølge. Så følgende er forskjellige måter å rulle samme rett på:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Det ville vært kjedelig å liste opp alle mulige måter å få 1, 2, 3, 4 og 5. Siden vi bare trenger å vite hvor mange måter det er å gjøre dette på, kan vi bruke noen grunnleggende telleteknikker. Vi legger merke til at alt vi gjør er permutering de fem terningene. Det er 5! = 120 måter å gjøre dette på. Siden det er to kombinasjoner av terninger for å lage en stor straight og 120 måter å kaste hver av disse på, er det 2 x 120 = 240 måter å kaste en stor straight.

Sannsynlighet

Nå er sannsynligheten for å rulle en stor rette en enkel divisjonsberegning. Siden det er 240 måter å kaste en stor straight i et enkelt kast og det er 7776 kast med fem terninger mulig, er sannsynligheten for å kaste en stor straight 240/7776, som er nær 1/32 og 3,1%.

Selvfølgelig er det mer sannsynlig enn ikke at det første kast ikke er en straight. Hvis dette er tilfelle, har vi lov til to kast til, noe som gjør en straight mye mer sannsynlig. Sannsynligheten for dette er mye mer komplisert å bestemme på grunn av alle mulige situasjoner som må vurderes.