Normal tilnærming til binomialfordelingen

Matt Cardy / Getty Images

Tilfeldige variabler med binomialfordeling er kjent for å være diskrete. Dette betyr at det er et tellbart antall utfall som kan oppstå i en binomialfordeling, med skille mellom disse utfallene. For eksempel kan en binomial variabel ha en verdi på tre eller fire, men ikke et tall mellom tre og fire.

Med den diskrete karakteren til en binomialfordeling, er det noe overraskende at en kontinuerlig tilfeldig variabel kan brukes til å tilnærme en binomialfordeling. For mange binomiale fordelinger , kan vi bruke en normalfordeling for å tilnærme våre binomiale sannsynligheter.

Dette kan sees når man ser på n myntkast og utleie X være antall hoder. I denne situasjonen har vi en binomialfordeling med sannsynlighet for suksess som s = 0,5. Når vi øker antall kast, ser vi at sannsynligheten histogram har større og større likhet med en normalfordeling.

Angivelse av normal tilnærming

Hver normalfordeling er fullstendig definert av to reelle tall . Disse tallene er gjennomsnittet, som måler sentrum av fordelingen, og standardavvik , som måler spredningen av distribusjonen. For en gitt binomial situasjon må vi kunne bestemme hvilken normalfordeling som skal brukes.

Valget av riktig normalfordeling bestemmes av antall forsøk n i binomial setting og den konstante sannsynligheten for suksess s for hver av disse forsøkene. Den normale tilnærmingen for vår binomiale variabel er et gjennomsnitt av f.eks. og et standardavvik på ( f.eks. (1 - s )^0,5.

Anta for eksempel at vi gjettet på hvert av de 100 spørsmålene i en flervalgstest, der hvert spørsmål hadde ett riktig svar av fire valg. Antall riktige svar X er en binomial tilfeldig variabel med n = 100 og s = 0,25. Dermed har denne tilfeldige variabelen gjennomsnittet 100(0,25) = 25 og et standardavvik på (100(0,25)(0,75))^0,5= 4,33. En normalfordeling med gjennomsnitt 25 og standardavvik på 4,33 vil fungere for å tilnærme denne binomiale fordelingen.

Når er tilnærmingen passende?

Ved å bruke litt matematikk kan det vises at det er noen få forhold som vi trenger for å bruke en normal tilnærming til binomial fordeling . Antall observasjoner n må være stor nok, og verdien av s slik at begge f.eks. og n (1 - s ) er større enn eller lik 10. Dette er en tommelfingerregel, som styres av statistisk praksis. Den normale tilnærmingen kan alltid brukes, men hvis disse betingelsene ikke er oppfylt, er tilnærmingen kanskje ikke så god tilnærming.

For eksempel hvis n = 100 og s = 0,25 så er vi berettiget til å bruke normal tilnærming. Dette er fordi f.eks. = 25 og n (1 - s ) = 75. Siden begge disse tallene er større enn 10, vil den passende normalfordelingen gjøre en ganske god jobb med å estimere binomiale sannsynligheter.

Hvorfor bruke tilnærmingen?

Binomiale sannsynligheter beregnes ved å bruke en veldig grei formel for å finne den binomiale koeffisienten. Dessverre, på grunn av factorials i formelen kan det være veldig lett å støte på beregningsvansker med binomial formel. Den normale tilnærmingen lar oss omgå alle disse problemene ved å jobbe med en kjent venn, en verditabell for en standard normalfordeling.

Mange ganger er bestemmelsen av en sannsynlighet for at en binomial tilfeldig variabel faller innenfor et verdiområde kjedelig å beregne. Dette er fordi å finne sannsynligheten for at en binomial variabel X er større enn 3 og mindre enn 10, må vi finne sannsynligheten for at X er lik 4, 5, 6, 7, 8 og 9, og legg deretter alle disse sannsynlighetene sammen. Hvis normal tilnærming kan brukes, må vi i stedet bestemme z-skårene som tilsvarer 3 og 10, og deretter bruke en z-score-tabell med sannsynligheter for standard normalfordeling .