Hva er den negative binomiale distribusjonen?

Tatiana Kolesnikova/Getty Images

Den negative binomialfordelingen er a sannsynlighetsfordeling som brukes med diskrete tilfeldige variabler. Denne typen distribusjon gjelder antall forsøk som må skje for å ha et forhåndsbestemt antall suksesser. Som vi vil se, er den negative binomialfordelingen relatert til binomial fordeling . I tillegg generaliserer denne fordelingen den geometriske fordelingen.

Innstillingen

Vi vil starte med å se på både innstillingen og forholdene som gir opphav til en negativ binomialfordeling. Mange av disse forholdene ligner veldig på en binomial setting.

1. Vi har et Bernoulli-eksperiment. Dette betyr at hvert forsøk vi utfører har en veldefinert suksess og fiasko, og at dette er de eneste resultatene.
2. Sannsynligheten for suksess er konstant uansett hvor mange ganger vi utfører eksperimentet. Vi betegner denne konstante sannsynligheten med a s.
3. Eksperimentet gjentas for X uavhengige forsøk, som betyr at utfallet av en rettssak ikke har noen effekt på utfallet av en påfølgende rettssak.

Disse tre forholdene er identiske med de i en binomialfordeling. Forskjellen er at en binomial tilfeldig variabel har et fast antall forsøk n. De eneste verdiene av X er 0, 1, 2, ..., n, så dette er en endelig fordeling.

En negativ binomialfordeling er opptatt av antall forsøk X som må skje til vi har r suksesser. Antallet r er et helt tall som vi velger før vi begynner å utføre prøvene våre. Den tilfeldige variabelen X er fortsatt diskret. Men nå kan den tilfeldige variabelen ta på seg verdier av X = r, r+1, r+2, ... Denne tilfeldige variabelen er tellelig uendelig, da det kan ta vilkårlig lang tid før vi får r suksesser.

Eksempel

For å gi mening om en negativ binomialfordeling, er det verdt å vurdere et eksempel. Anta at vi slår en pen mynt og stiller spørsmålet: 'Hva er sannsynligheten for at vi får tre hoder i det første X myntflipper? Dette er en situasjon som krever en negativ binomialfordeling.

Myntsvingene har to mulige utfall, sannsynligheten for suksess er konstant 1/2, og prøvelsene er uavhengige av hverandre. Vi ber om sannsynligheten for å få de tre første hodene etter X myntflipper. Derfor må vi snu mynten minst tre ganger. Vi fortsetter deretter å bla til det tredje hodet dukker opp.

For å beregne sannsynligheter knyttet til en negativ binomialfordeling trenger vi litt mer informasjon. Vi må kjenne sannsynlighetsmassefunksjonen.

Sannsynlighetsmassefunksjon

Sannsynlighetsmassefunksjonen for en negativ binomialfordeling kan utvikles med litt omtanke. Hvert forsøk har en sannsynlighet for suksess gitt av s. Siden det bare er to mulige utfall, betyr dette at sannsynligheten for feil er konstant (1 - s ).

De r suksessen må skje for x og siste rettssak. Den forrige x - 1 forsøk må inneholde nøyaktig r - 1 suksesser. Antall måter dette kan skje er gitt av antall kombinasjoner:

C( x - 1, r -1) = (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!].

I tillegg til dette har vi uavhengige hendelser, og så kan vi multiplisere sannsynlighetene våre sammen. Setter vi alt dette sammen, får vi sannsynlighetsmassefunksjonen

f ( x ) =C( x - 1, r -1) s ^r (1 - s ) ^{x - r}.

Navnet på distribusjonen

Vi er nå i en posisjon til å forstå hvorfor denne tilfeldige variabelen har en negativ binomialfordeling. Antall kombinasjoner som vi møtte ovenfor kan skrives annerledes ved innstilling x - r = k:

(x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!] = ( x + k - 1)!/[(r - 1)! k !] = ( r + k - 1)( x + k - 2) . . . (r + 1)(r)/ k ! = (-1) ^k (-r)(-r - 1). . .(-r -(k + 1)/k!.

Her ser vi utseendet til en negativ binomial koeffisient, som brukes når vi hever et binomialt uttrykk (a + b) til en negativ potens.

Mener

Gjennomsnittet av en distribusjon er viktig å vite fordi det er én måte å betegne sentrum av distribusjonen. Gjennomsnittet av denne typen tilfeldig variabel er gitt av dens forventede verdi og er lik r / s . Vi kan bevise dette nøye ved å bruke momentgenererende funksjon for denne distribusjonen.

Intuisjon guider oss også til dette uttrykket. Anta at vi utfører en rekke forsøk n ₁til vi får r suksesser. Og så gjør vi dette igjen, bare denne gangen tar det n _toprøvelser. Vi fortsetter dette om og om igjen, til vi har et stort antall grupper med forsøk N = n ₁+ n _to+ . . . + n _k.

Hver av disse k forsøk inneholder r suksesser, og så har vi totalt kr suksesser. Hvis N er stor, så forventer vi å se ca f.eks suksesser. Dermed sidestiller vi disse sammen og har kr = Np.

Vi gjør litt algebra og finner det N / k = r / p. Brøkdelen på venstre side av denne ligningen er det gjennomsnittlige antallet forsøk som kreves for hver av våre k grupper av forsøk. Dette er med andre ord forventet antall ganger å utføre forsøket slik at vi har totalt r suksesser. Dette er akkurat den forventningen vi ønsker å finne. Vi ser at dette er lik formelen r / s.

Forskjell

Variansen til den negative binomialfordelingen kan også beregnes ved å bruke den momentgenererende funksjonen. Når vi gjør dette ser vi at variansen til denne fordelingen er gitt av følgende formel:

r(1 - s )/ s ^to

Momentgenererende funksjon

Den øyeblikksgenererende funksjonen for denne typen tilfeldige variabler er ganske komplisert. Husk at den momentgenererende funksjonen er definert til å være forventet verdi E[e^tX]. Ved å bruke denne definisjonen med vår sannsynlighetsmassefunksjon, har vi:

M(t) = E[e^tX] = Σ (x - 1)!/[(r - 1)!( x - r )!]og^tX s ^r (1 - s ) ^{x - r}

Etter noe algebra blir dette M(t) = (pe^t)^r[1-(1-p)e^t]^-r

Forholdet til andre distribusjoner

Vi har sett ovenfor hvordan den negative binomialfordelingen på mange måter ligner den binomiale fordelingen. I tillegg til denne sammenhengen er den negative binomialfordelingen en mer generell versjon av en geometrisk fordeling.

En geometrisk tilfeldig variabel X teller antall nødvendige forsøk før den første suksessen inntreffer. Det er lett å se at dette er akkurat den negative binomialfordelingen, men med r lik en.

Andre formuleringer av den negative binomialfordelingen finnes. Noen lærebøker definerer X å være antall forsøk frem til r feil oppstår.

Eksempel på problem

Vi skal se på et eksempelproblem for å se hvordan man jobber med den negative binomialfordelingen. Anta at en basketballspiller er en 80 % frikastskytter. Anta videre at å gjøre ett straffekast er uavhengig av å gjøre det neste. Hva er sannsynligheten for at den åttende kurven for denne spilleren blir laget på det tiende straffekastet?

Vi ser at vi har en innstilling for en negativ binomialfordeling. Den konstante sannsynligheten for suksess er 0,8, og derfor er sannsynligheten for å mislykkes 0,2. Vi ønsker å bestemme sannsynligheten for X=10 når r = 8.

Vi kobler disse verdiene inn i vår sannsynlighetsmassefunksjon:

f(10) =C(10 -1, 8 - 1) (0,8)⁸(0,2)^to= 36(0,8)⁸(0,2)^to, som er omtrent 24 %.

Vi kan da spørre hva som er gjennomsnittlig antall straffekast før denne spilleren gjør åtte av dem. Siden forventet verdi er 8/0,8 = 10, er dette antall skudd.