Den øyeblikksgenererende funksjonen til en tilfeldig variabel

Den øyeblikksgenererende funksjonen til en tilfeldig variabel er definert i form av en forventet verdi. C.K. Taylor

En måte å beregne gjennomsnittet og variansen til a sannsynlighetsfordeling er å finne forventede verdier av de tilfeldige variablene X og X ^to. Vi bruker notasjonen OG ( X ) og OG ( X ^to) for å angi disse forventede verdiene. Generelt er det vanskelig å beregne OG ( X ) og OG ( X ^to) direkte. For å komme rundt denne vanskeligheten bruker vi litt mer avansert matematisk teori og kalkulus. Sluttresultatet er noe som gjør beregningene våre enklere.

Strategien for dette problemet er å definere en ny funksjon, av en ny variabel t det kalles den øyeblikksgenererende funksjonen. Denne funksjonen lar oss beregne momenter ved ganske enkelt å ta deriverte.

Antagelser

Før vi definerer den øyeblikksgenererende funksjonen, begynner vi med å sette scenen med notasjon og definisjoner. Vi lar X være en diskret tilfeldig variabel . Denne tilfeldige variabelen har sannsynlighetsmassefunksjonen f ( x ). Prøveplassen som vi jobber med vil bli merket med S .

I stedet for å beregne forventet verdi av X , ønsker vi å beregne forventet verdi av en eksponentiell funksjon knyttet til X . Hvis det er en positiv ekte nummer r slik at OG ( og^tX ) eksisterer og er begrenset for alle t i intervallet [- r , r ], så kan vi definere den momentgenererende funksjonen til X .

Definisjon

Den momentgenererende funksjonen er den forventede verdien av eksponentialfunksjonen ovenfor. Med andre ord sier vi at den øyeblikksgenererende funksjonen til X er gitt av:

M ( t ) = OG ( og^tX )

Denne forventede verdien er formelen Σ og ^tx f ( x ), hvor summeringen overtas alt x i prøverom S . Dette kan være en endelig eller uendelig sum, avhengig av prøverommet som brukes.

Eiendommer

Den øyeblikksgenererende funksjonen har mange funksjoner som kobles til andre emner innen sannsynlighet og matematisk statistikk. Noen av de viktigste funksjonene inkluderer:

• Koeffisienten til og^tb er sannsynligheten for at X = b .
• Momentgenererende funksjoner har en unik egenskap. Hvis de momentgenererende funksjonene for to tilfeldige variabler samsvarer med hverandre, må sannsynlighetsmassefunksjonene være de samme. De tilfeldige variablene beskriver med andre ord samme sannsynlighetsfordeling.
• Momentgenererende funksjoner kan brukes til å beregne momenter av X .

Beregne øyeblikk

Det siste elementet i listen ovenfor forklarer navnet på øyeblikksgenererende funksjoner og deres nytte. Noen avansert matematikk sier at under betingelsene som vi la opp, er den deriverte av hvilken som helst rekkefølge av funksjonen M ( t ) eksisterer for når t = 0. Videre kan vi i dette tilfellet endre rekkefølgen på summering og differensiering mht t for å oppnå følgende formler (alle summeringer er over verdiene til x i prøverommet S ):

• M ’( t ) = S bil^tx f ( x )
• M ''( t ) = S x^toog^tx f ( x )
• M '''( t ) = S x³og^tx f ( x )
• M ⁽ⁿ⁾’( t ) = S xⁿog^tx f ( x )

Hvis vi setter t = 0 i formlene ovenfor, deretter og^tx begrepet blir og ⁰= 1. Dermed får vi formler for momentene til den tilfeldige variabelen X :

• M ’(0) = OG ( X )
• M ''(0) = OG ( X ^to)
• M '''(0) = OG ( X ³)
• M ^{( n )}(0) = OG ( Xⁿ )

Dette betyr at hvis den momentgenererende funksjonen eksisterer for en bestemt tilfeldig variabel, så kan vi finne dens gjennomsnitt og varians i form av deriverte av den momentgenererende funksjonen. Meningen er M '(0), og variansen er M ''(0) – [ M '(0)]^to.

Sammendrag

Oppsummert måtte vi vasse inn i ganske kraftig matematikk, så noen ting ble oversvømmet. Selv om vi må bruke kalkulus for det ovennevnte, er vårt matematiske arbeid til syvende og sist vanligvis enklere enn ved å beregne momentene direkte fra definisjonen.