Når bruker du en binomialfordeling?

ROBERT BROOK/SCIENCE PHOTO LIBRARY / Getty Images

Binomiale sannsynlighetsfordelinger er nyttige i en rekke innstillinger. Det er viktig å vite når denne typen distribusjon skal brukes. Vi vil undersøke alle betingelsene som er nødvendige for å bruke en binomialfordeling.

De grunnleggende funksjonene som vi må ha er for totalt n det gjennomføres uavhengige forsøk og vi ønsker å finne ut sannsynligheten for r suksesser, hvor hver suksess har sannsynlighet s av oppstå. Det er flere ting angitt og underforstått i denne korte beskrivelsen. Definisjonen koker ned til disse fire betingelsene:

1. Fast antall forsøk
2. Uavhengige forsøk
3. To forskjellige klassifiseringer
4. Sannsynligheten for suksess forblir den samme for alle forsøk

Alle disse må være tilstede i prosessen som undersøkes for å kunne bruke den binomiale sannsynlighetsformelen eller tabeller . En kort beskrivelse av hver av disse følger.

Faste forsøk

Prosessen som undersøkes må ha et klart definert antall forsøk som ikke varierer. Vi kan ikke endre dette tallet midtveis i vår analyse. Hver prøve må utføres på samme måte som alle de andre, selv om resultatene kan variere. Antall forsøk er angitt med en n i formelen.

Et eksempel på å ha faste forsøk for en prosess vil innebære å studere resultatene fra å kaste en terning ti ganger. Her er hvert terningkast en prøvelse. Det totale antallet ganger hver prøve utføres er definert fra begynnelsen.

Uavhengige forsøk

Hver av forsøkene må være uavhengige. Hver rettssak skal absolutt ikke ha noen effekt på noen av de andre. De klassiske eksemplene på rulling to terninger eller bla flere mynter illustrere uavhengige hendelser. Siden arrangementene er uavhengige, kan vi bruke multiplikasjonsregel å multiplisere sannsynlighetene sammen.

I praksis, spesielt på grunn av enkelte prøvetakingsteknikker, kan det være tider når forsøk ikke er teknisk uavhengige. EN binomial fordeling kan noen ganger brukes i disse situasjonene så lenge populasjonen er større i forhold til utvalget.

To klassifikasjoner

Hver av forsøkene er gruppert i to klassifiseringer: suksesser og fiaskoer. Selv om vi vanligvis tenker på suksess som en positiv ting, bør vi ikke lese for mye inn i dette begrepet. Vi indikerer at rettssaken er en suksess ved at den stemmer overens med det vi har bestemt oss for å kalle en suksess.

Som et ekstremt tilfelle for å illustrere dette, anta at vi tester feilfrekvensen til lyspærer. Hvis vi vil vite hvor mange i en batch som ikke vil fungere, kan vi definere suksess for vår prøveperiode når vi har en lyspære som ikke fungerer. En feil i forsøket er når lyspæren fungerer. Dette kan høres litt bakover ut, men det kan være noen gode grunner til å definere suksessene og fiaskoene til rettssaken vår slik vi har gjort. Det kan være å foretrekke, for merkingsformål, å understreke at det er lav sannsynlighet for at en lyspære ikke fungerer, fremfor stor sannsynlighet for at en lyspære fungerer.

Samme sannsynligheter

Sannsynlighetene for vellykkede forsøk må forbli de samme gjennom hele prosessen vi studerer. Å vende mynter er ett eksempel på dette. Uansett hvor mange mynter som kastes, er sannsynligheten for å snu et hode 1/2 hver gang.

Dette er et annet sted hvor teori og praksis er litt annerledes. Prøvetaking uten erstatning kan føre til at sannsynlighetene fra hvert forsøk svinger litt fra hverandre. Anta at det er 20 beagler av 1000 hunder. Sannsynligheten for å velge en beagle tilfeldig er 20/1000 = 0,020. Velg nå igjen fra de gjenværende hundene. Det er 19 beagler av 999 hunder. Sannsynligheten for å velge en annen beagle er 19/999 = 0,019. De verdi 0,2 er et passende estimat for begge disse forsøkene. Så lenge populasjonen er stor nok, utgjør ikke denne typen estimering noe problem med å bruke binomialfordelingen.