Forstå det faktorielle (!) i matematikk og statistikk

matma / Getty Images

I matematikk, symboler som har visse betydninger i det engelske språket kan bety veldig spesialiserte og forskjellige ting. Tenk for eksempel på følgende uttrykk:

3!

Nei, vi brukte ikke utropstegn for å vise at vi er begeistret for tre, og vi bør ikke lese den siste setningen med ettertrykk. I matematikk er uttrykket 3! leses som 'tre faktorial' og er egentlig en kortfattet måte å betegne multiplikasjon av flere påfølgende hele tall.

Siden det er mange steder gjennom matematikk og statistikk hvor vi må multiplisere tall sammen, er faktoren ganske nyttig. Noen av de viktigste stedene det dukker opp er kombinatorikk og sannsynlighet kalkulus .

Definisjon

Definisjonen av faktoren er den for ethvert positivt heltall n , faktoren:

n ! = n x (n -1) x (n - 2) x . . . x 2 x 1

Eksempler på små verdier

Først skal vi se på noen få eksempler på faktoren med små verdier på n :

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Som vi kan se blir factorial veldig raskt veldig stort. Noe som kan virke lite, for eksempel 20! har faktisk 19 sifre.

Faktorer er enkle å beregne, men de kan være litt kjedelige å beregne. Heldigvis har mange kalkulatorer en faktornøkkel (se etter !-symbolet). Denne funksjonen til kalkulatoren vil automatisere multiplikasjonene.

Et spesielt tilfelle

En annen verdi av faktoren og en som standarddefinisjonen ovenfor ikke gjelder, er den av null faktoriell . Hvis vi følger formelen, vil vi ikke komme frem til noen verdi for 0!. Det er ingen positive hele tall mindre enn 0. Av flere grunner er det hensiktsmessig å definere 0! = 1. Faktoren for denne verdien vises spesielt i formlene for kombinasjoner og permutasjoner .

Mer avanserte beregninger

Når vi arbeider med beregninger er det viktig å tenke før vi trykker på faktortasten på kalkulatoren vår. For å beregne et uttrykk som 100!/98! det er et par forskjellige måter å gjøre dette på.

En måte er å bruke en kalkulator å finne begge 100! og 98!, del deretter den ene på den andre. Selv om dette er en direkte måte å regne på, har det noen vanskeligheter knyttet til seg. Noen kalkulatorer kan ikke håndtere uttrykk så store som 100! = 9,33262154 x 10¹⁵⁷. (Uttrykket 10¹⁵⁷er en vitenskapelig notasjon som betyr at vi multipliserer med 1 etterfulgt av 157 nuller.) Ikke bare er dette tallet massivt, men det er også bare et anslag på den virkelige verdien av 100!

En annen måte å forenkle et uttrykk med faktorialer som den vi ser her, krever ikke en kalkulator i det hele tatt. Måten å nærme seg dette problemet på er å erkjenne at vi kan omskrive 100! ikke som 100 x 99 x 98 x 97 x . . . x 2 x 1, men i stedet som 100 x 99 x 98! Uttrykket 100!/98! blir nå (100 x 99 x 98!)/98! = 100 x 99 = 9900.