Hvorfor er nullfaktorer lik én?

En nullfaktor er et matematisk uttrykk for antall måter å ordne et datasett uten verdier i, som tilsvarer én. Generelt sett faktoriell av et tall er en forkortelse for å skrive et multiplikasjonsuttrykk der tallet multipliseres med hvert tall mindre enn det, men større enn null. 4! = 24 er for eksempel det samme som å skrive 4 x 3 x 2 x 1 = 24, men man bruker et utropstegn til høyre for faktortallet (fire) for å uttrykke samme ligning.

Det er ganske tydelig fra disse eksemplene hvordan man beregner faktoren til et helt tall større enn eller lik en , men hvorfor er verdien av null faktoriell én til tross for den matematiske regelen om at alt multiplisert med null er lik null?

Definisjonen av faktoren sier at 0! = 1. Dette forvirrer vanligvis folk første gang de ser denne ligningen, men vi vil se i eksemplene nedenfor hvorfor dette gir mening når du ser på definisjonen, permutasjonene til og formlene for nullfaktoren.

Definisjonen av en nullfaktor

Den første grunnen til at nullfaktor er lik én er at det er slik definisjonen sier at det skal være, som er en matematisk korrekt forklaring (hvis en noe utilfredsstillende). Likevel må man huske at definisjonen av en faktorial er produktet av alle heltall som er lik eller mindre i verdi til det opprinnelige tallet – med andre ord, en faktorial er antall mulige kombinasjoner med tall mindre enn eller lik det tallet.

Fordi null ikke har tall mindre enn det, men fortsatt er et tall i seg selv, er det bare én mulig kombinasjon av hvordan det datasettet kan ordnes: det kan det ikke. Dette teller fortsatt som en måte å ordne det på, så per definisjon er en nullfaktor lik én, akkurat som 1! er lik én fordi det bare er en enkelt mulig ordning av dette datasettet.

For en bedre forståelse av hvordan dette gir mening matematisk, er det viktig å merke seg at faktorialer som disse brukes til å bestemme mulige rekkefølger av informasjon i en sekvens, også kjent som permutasjoner, som kan være nyttig for å forstå at selv om det ikke er noen verdier i et tomt eller nullsett, er det fortsatt én måte det settet er ordnet.

Permutasjoner og faktorer

EN permutasjon er en spesifikk, unik rekkefølge av elementer i et sett. For eksempel er det seks permutasjoner av settet {1, 2, 3}, som inneholder tre elementer, siden vi kan skrive disse elementene på følgende seks måter:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Vi kan også fastslå dette faktum gjennom ligning 3! = 6, som er en faktoriell representasjon av hele settet med permutasjoner. På samme måte er det 4! = 24 permutasjoner av et sett med fire elementer og 5! = 120 permutasjoner av et sett med fem elementer. Så en alternativ måte å tenke på faktorialet er å la n være et naturlig tall og si det n ! er antall permutasjoner for et sett med n elementer.

Med denne måten å tenke på faktorialet, la oss se på et par flere eksempler. Et sett med to elementer har to permutasjoner : {a, b} kan ordnes som a, b eller som b, a. Dette tilsvarer 2! = 2. Et sett med ett element har en enkelt permutasjon, da element 1 i settet {1} kun kan bestilles på én måte.

Dette bringer oss til null faktorial. Settet med null elementer kalles tomt sett . For å finne verdien av nullfaktor, spør vi: Hvor mange måter kan vi bestille et sett uten elementer? Her må vi strekke tankene våre litt. Selv om det ikke er noe å bestille, er det én måte å gjøre dette på. Dermed har vi 0! = 1.

Formler og andre valideringer

En annen grunn til definisjonen av 0! = 1 har å gjøre med formlene som vi bruker for permutasjoner og kombinasjoner. Dette forklarer ikke hvorfor nullfaktor er én, men det viser hvorfor man setter 0! = 1 er en god idé.

En kombinasjon er en gruppering av elementer i et sett uten hensyn til rekkefølge. Tenk for eksempel på settet {1, 2, 3}, der det er én kombinasjon som består av alle tre elementene. Uansett hvordan vi ordner disse elementene, ender vi opp med samme kombinasjon.

Vi bruker formelen for kombinasjoner med kombinasjonen av tre elementer tatt tre om gangen og se at 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!), og hvis vi behandler 0! som en ukjent størrelse og løse algebraisk, ser vi at 3! 0! = 3! og så 0! = 1.

Det er andre grunner til at definisjonen av 0! = 1 er riktig, men årsakene ovenfor er de mest enkle. Den overordnede ideen i matematikk er at når nye ideer og definisjoner konstrueres, forblir de konsistente med annen matematikk, og det er akkurat dette vi ser i definisjonen av nullfaktorial er lik én.