Hvordan utlede formelen for kombinasjoner

PeopleImages.com / Getty Images

Etter å ha sett formler skrevet ut i en lærebok eller skrevet på tavlen av en lærer, er det noen ganger overraskende å finne ut at mange av disse formlene kan utledes fra noen grunnleggende definisjoner og nøye ettertanke. Dette gjelder spesielt i sannsynlighet når man undersøker formelen for kombinasjoner. Utledningen av denne formelen er egentlig bare avhengig av multiplikasjonsprinsippet.

Multiplikasjonsprinsippet

Anta at det er en oppgave å gjøre og denne oppgaven er delt inn i totalt to trinn. Det første trinnet kan gjøres i k måter og det andre trinnet kan gjøres på n måter. Dette betyr at ettermultipliseredisse tallene sammen, er antallet måter å utføre oppgaven på som for eksempel .

For eksempel, hvis du har ti typer iskrem å velge mellom og tre forskjellige pålegg, hvor mange en scoop, en topping sundaes kan du lage? Multipliser tre med 10 for å få 30 sundaes.

Danner permutasjoner

Bruk nå multiplikasjonsprinsippet for å utlede formelen for antall kombinasjoner av r elementer hentet fra et sett med n elementer. La P(n,r) angi antall kombinasjonsmuligheter av r elementer fra et sett med n og C(n,r) angi antall kombinasjoner av r elementer fra et sett med n elementer.

Tenk på hva som skjer når du danner en permutasjon av r elementer fra totalt n . Se på dette som en to-trinns prosess. Velg først et sett med r elementer fra et sett med n . Dette er en kombinasjon og det er det C (n, r) måter å gjøre dette på. Det andre trinnet i prosessen er å bestille r elementer med r valg for det første, r - 1 valg for det andre, r - 2 for den tredje, 2 valg for den nest siste og 1 for den siste. Ved multiplikasjonsprinsippet er det r x ( r -1) x. . . x 2 x 1 = r ! måter å gjøre dette på. Denne formelen er skrevet med faktoriell notasjon .

Utledningen av formelen

For å oppsummere, P ( n , r ), antall måter å danne en permutasjon av r elementer fra totalt n bestemmes av:

1. Danner en kombinasjon av r elementer av totalt n i noen av C ( n , r ) måter
2. Bestiller disse r noen av elementene r ! måter.

Ved multiplikasjonsprinsippet er antallet måter å danne en permutasjon på P ( n , r ) = C ( n , r ) x r !.

Bruke formelen for permutasjoner P ( n , r ) = n !/( n - r )!, som kan erstattes med formelen ovenfor:

n !/( n - r )! = C ( n , r ) r !.

Løs nå dette, antall kombinasjoner, C ( n , r ), og se det C ( n , r ) = n !/[ r !( n - r )!].

Som vist kan litt tankegang og algebra gå langt. Andre formler innen sannsynlighet og statistikk kan også utledes med noen forsiktige anvendelser av definisjoner.