Beregne sannsynligheten for å velge et primtall tilfeldig

ROBERT BROOK / Getty Images

Tallteori er en gren av matematikk som angår seg selv med settet med heltall. Vi begrenser oss noe ved å gjøre dette da vi ikke direkte studerer andre tall, for eksempel irrasjonelle. Men andre typer reelle tall er brukt. I tillegg til dette har sannsynlighetsfaget mange sammenhenger og skjæringspunkter med tallteori. En av disse sammenhengene har å gjøre med distribusjon av primtall. Mer spesifikt kan vi spørre, hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt heltall fra 1 til x er et primtall?

Forutsetninger og definisjoner

Som med ethvert matematikkproblem er det viktig å forstå ikke bare hvilke antakelser som gjøres, men også definisjonene av alle nøkkelbegrepene i problemet. For dette problemet vurderer vi de positive heltallene, som betyr hele tallene 1, 2, 3, . . . opp til et eller annet antall x . Vi velger tilfeldig ett av disse tallene, noe som betyr at alle x av dem er like sannsynlig å bli valgt.

Vi prøver å bestemme sannsynligheten for at et primtall er valgt. Derfor må vi forstå definisjonen av et primtall. Et primtall er et positivt heltall som har nøyaktig to faktorer. Dette betyr at de eneste divisorene for primtall er en og selve tallet. Så 2,3 og 5 er primtall, men 4, 8 og 12 er ikke primtall. Vi legger merke til at fordi det må være to faktorer i et primtall, er tallet 1 ikke prime.

Løsning for lave tall

Løsningen på dette problemet er grei for lave tall x . Alt vi trenger å gjøre er ganske enkelt å telle antall primtall som er mindre enn eller lik x . Vi deler antall primtall mindre enn eller lik x etter nummeret x .

For å finne sannsynligheten for at et primtall er valgt fra 1 til 10, må vi for eksempel dele antallet primtall fra 1 til 10 med 10. Tallene 2, 3, 5, 7 er primtall, så sannsynligheten for at et primtall er valgt er 4/10 = 40 %.

Sannsynligheten for at en primtall velges fra 1 til 50 kan finnes på lignende måte. Primtallene som er mindre enn 50 er: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 og 47. Det er 15 primtall mindre enn eller lik 50. Dermed er sannsynligheten for at en primtall velges tilfeldig 15/50 = 30%.

Denne prosessen kan utføres ved ganske enkelt å telle primtall så lenge vi har en liste over primtall. For eksempel er det 25 primtall mindre enn eller lik 100. (Dermed er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt tall fra 1 til 100 er primtall 25/100 = 25%.) Men hvis vi ikke har en liste med primtall, det kan være beregningsmessig skremmende å bestemme settet med primtall som er mindre enn eller lik et gitt tall x .

Primtallssetningen

Hvis du ikke har en telling av antall primtall som er mindre enn eller lik x , så er det en alternativ måte å løse dette problemet på. Løsningen innebærer et matematisk resultat kjent som primtallsteoremet. Dette er et utsagn om den totale fordelingen av primtallene og kan brukes til å tilnærme sannsynligheten som vi prøver å bestemme.

Primtallssetningen sier at det er ca x / ln( x ) primtall som er mindre enn eller lik x . Her ln( x ) betegner den naturlige logaritmen til x , eller med andre ord logaritmen med en base på nummeret og . Som verdien av x øker tilnærmingen forbedres, i den forstand at vi ser en reduksjon i den relative feilen mellom antall primtall mindre enn x og uttrykket x / ln( x ).

Anvendelse av primtallsteoremet

Vi kan bruke resultatet av primtallsteoremet til å løse problemet vi prøver å løse. Vi vet ved primtallsteoremet at det er ca x / ln( x ) primtall som er mindre enn eller lik x . Videre er det totalt x positive heltall mindre enn eller lik x . Derfor er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt tall i dette området er primtall ( x / ln( x ) ) / x = 1 / ln( x ).

Eksempel

Vi kan nå bruke dette resultatet til å tilnærme sannsynligheten for å tilfeldig velge et primtall ut av det første milliarder heltall. Vi beregner den naturlige logaritmen til en milliard og ser at ln(1 000 000 000) er omtrent 20,7 og 1/ln(1 000 000 000) er omtrent 0,0483. Dermed har vi omtrent 4,83 % sannsynlighet for å tilfeldig velge et primtall av de første milliarden heltall.