Hvordan løse et system med lineære ligninger

Yagi Studio / Getty Images

I matematikk er en lineær ligning en som inneholder to variabler og kan plottes på en graf som en rett linje. Et system med lineære ligninger er en gruppe av to eller flere lineære ligninger som alle inneholder samme sett med variabler. Systemer med lineære ligninger kan brukes til å modellere problemer i den virkelige verden. De kan løses ved hjelp av en rekke forskjellige metoder:

1. Grafer
2. Substitusjon
3. Eliminering av addisjon
4. Eliminering av subtraksjon

01 av 04

Grafer

Eric Raptosh Photography/Blend Images/Getty Images

Grafer er en av de enkleste måtene å løse et system med lineære ligninger. Alt du trenger å gjøre er å tegne grafen for hver ligning som en linje og finne punktet(e) der linjene skjærer hverandre.

Tenk for eksempel på følgende system med lineære ligninger som inneholder variablene x og Y :

Y = x + 3
Y = -1 x - 3

Disse ligningene er allerede skrevet inn hellingsavskjæringsform , noe som gjør dem enkle å tegne. Hvis likningene ikke ble skrevet i helningsavskjæringsform, må du forenkle dem først. Når det er gjort, løse for x og Y krever bare noen få enkle trinn:

1. Tegn grafer for begge ligningene.

2. Finn punktet der likningene skjærer hverandre. I dette tilfellet er svaret (-3, 0).

3. Bekreft at svaret ditt er riktig ved å plugge inn verdiene x = -3 og Y = 0 inn i de opprinnelige ligningene.

Y = x + 3
(0) = (-3) + 3
0 = 0

Y = -1 x - 3
0 = -1(-3) - 3
0 = 3 - 3
0 = 0

02 av 04

Substitusjon

En annen måte å løse et ligningssystem på er ved substitusjon. Med denne metoden forenkler du i hovedsak en ligning og inkorporerer den i den andre, noe som lar deg eliminere en av de ukjente variablene.

Tenk på følgende system med lineære ligninger:

3 x + Y = 6
x = 18 -3 Y

I den andre ligningen, x er allerede isolert. Hvis det ikke var tilfelle, ville vi først måtte forenkle ligningen for å isolere x . Etter å ha isolert x i den andre ligningen kan vi erstatte x i den første ligningen med ekvivalentverdien fra den andre ligningen: (18 - 3 år) .

1. Bytt ut x i den første ligningen med den gitte verdien av x i den andre ligningen.

3 ( 18 – 3 år ) + Y = 6

2. Forenkle hver side av ligningen.

54 – 9 Y + Y = 6
54 – 8 Y = 6

3. Løs ligningen for Y .

54 – 8 Y – 54 = 6 – 54
-8 Y = -48
-8 Y /-8 = -48/-8

y = 6

4. Plugg inn Y = 6 og løs for x .

x = 18 -3 Y
x = 18 -3(6)
x = 18–18
x = 0

5. Bekreft at (0,6) er løsningen.

x = 18 -3 Y
0 = 18 – 3(6)
0 = 18 -18
0 = 0

03 av 04

Eliminering ved tillegg

Hvis de lineære ligningene du får er skrevet med variablene på den ene siden og en konstant på den andre, er den enkleste måten å løse systemet på ved eliminering.

Tenk på følgende system med lineære ligninger:

x + Y = 180
3 x + 2 Y = 414

1. Skriv først likningene ved siden av hverandre slik at du enkelt kan sammenligne koeffisientene med hver variabel.

2. Deretter multipliserer du den første ligningen med -3.

-3(x + y = 180)

3. Hvorfor multipliserte vi med -3? Legg den første ligningen til den andre for å finne ut.

-3x + -3y = -540
+ 3x + 2y = 414
0 + -1y = -126

Vi har nå eliminert variabelen x .

4. Løs for variabelen Y :

Y = 126

5. Plugg inn Y = 126 for å finne x .

x + Y = 180
x + 126 = 180
x = 54

6. Bekreft at (54, 126) er riktig svar.

3 x + 2 Y = 414
3(54) + 2(126) = 414
414 = 414

04 av 04

Eliminering ved subtraksjon

En annen måte å løse ved eliminering er å subtrahere, i stedet for å addere, de gitte lineære ligningene.

Tenk på følgende system med lineære ligninger:

Y - 12 x = 3
Y - 5 x = -4

1. I stedet for å legge til likningene, kan vi trekke dem fra for å eliminere Y .

Y - 12 x = 3
- ( Y - 5 x = -4)
0 - 7 x = 7

2. Løs for x .

-7 x = 7
x = -1

3. Plugg inn x = -1 å løse for Y .

Y - 12 x = 3
Y - 12(-1) = 3
Y + 12 = 3
Y = -9

4. Bekreft at (-1, -9) er riktig løsning.

(-9) - 5(-1) = -4
-9 + 5 = -4
-4 = -4