Forstå kvantiler: definisjoner og bruksområder
Hero Images/Getty Images
Sammendragsstatistikk som medianen, første kvartil og tredje kvartil er målinger av posisjon. Dette er fordi disse tallene indikerer hvor en spesifisert andel av distribusjonen av data ligger. For eksempel er medianen midtposisjonen til dataene som undersøkes. Halvparten av dataene har verdier mindre enn medianen. Tilsvarende har 25 % av dataene verdier mindre enn den første kvartilen og 75 % av dataene har verdier mindre enn den tredje kvartilen.
Dette konseptet kan generaliseres. En måte å gjøre dette på er å vurdere persentiler . Den 90. persentilen indikerer punktet der 90 % prosent av dataene har verdier mindre enn dette tallet. Mer generelt er s prosentilen er tallet n for hvilket s % av dataene er mindre enn n .
Kontinuerlige tilfeldige variabler
Selv om rekkefølgestatistikken for median, første kvartil og tredje kvartil vanligvis introduseres i en setting med et diskret sett med data, kan denne statistikken også defineres for en kontinuerlig tilfeldig variabel. Siden vi jobber med en kontinuerlig distribusjon bruker vi integralet. De s prosentilen er et tall n slik at:
∫-₶ n f ( x ) dx = s /100.
Her f ( x ) er en sannsynlighetstetthetsfunksjon. Dermed kan vi få en hvilken som helst persentil vi ønsker for en
Kvantiler
En ytterligere generalisering er å merke seg at ordrestatistikken vår deler fordelingen som vi jobber med. Medianen deler datasettet i to, og medianen, eller 50. persentilen av en kontinuerlig distribusjon, deler fordelingen i to når det gjelder areal. Den første kvartilen, medianog tredje kvartil deler opp dataene våre i fire stykker med samme antall i hver. Vi kan bruke integralet ovenfor for å få 25., 50. og 75. persentilene, og dele en kontinuerlig fordeling i fire deler med likt areal.
Vi kan generalisere denne prosedyren. Spørsmålet som vi kan starte med er gitt et naturlig tall n , hvordan kan vi dele fordelingen av en variabel inn i n like store biter? Dette taler direkte til ideen om kvantiler.
De n kvantiler for et datasett finnes omtrentlig ved å rangere dataene i rekkefølge og deretter dele denne rangeringen gjennom n - 1 likt fordelt punkt på intervallet.
Hvis vi har en sannsynlighetstetthetsfunksjon for en kontinuerlig tilfeldig variabel, bruker vi integralet ovenfor for å finne kvantilene. Til n kvantiler, vi ønsker:
- Den første som har 1/ n av området for utbredelsen til venstre for den.
- Den andre som har 2/ n av området for utbredelsen til venstre for den.
- De r å ha r / n av området for utbredelsen til venstre for den.
- Den siste som har ( n - 1)/ n av området for utbredelsen til venstre for den.
Vi ser det for et hvilket som helst naturlig tall n , den n kvantiler tilsvarer 100 r / n prosentilene, hvor r kan være et hvilket som helst naturlig tall fra 1 til n - 1.
Vanlige kvantiler
Visse typer kvantiler brukes ofte nok til å ha spesifikke navn. Nedenfor er en liste over disse:
- 2-kvantilen kalles medianen
- De 3 kvantilene kalles terciles
- De 4 kvantilene kalles kvartiler
- De 5 kvantilene kalles kvintiler
- De 6 kvantilene kalles sekstiler
- De 7 kvantilene kalles septiler
- De 8 kvantilene kalles oktiler
- De 10 kvantilene kalles desiler
- De 12 kvantilene kalles duodesiler
- De 20 kvantilene kalles vigintiler
- De 100 kvantilene kalles persentiler
- De 1000 kvantilene kalles permiller
Selvfølgelig finnes det andre kvantiler utover de i listen ovenfor. Mange ganger samsvarer den spesifikke kvantilen som brukes, størrelsen på prøven fra en kontinuerlig fordeling .
Bruk av kvantiler
I tillegg til å spesifisere posisjonen til et sett med data, er kvantiler nyttige på andre måter. Anta at vi har et enkelt tilfeldig utvalg fra en populasjon, og fordelingen av populasjonen er ukjent. For å hjelpe med å finne ut om en modell, for eksempel en normalfordeling eller Weibull-fordeling, passer godt for populasjonen vi samplet fra, kan vi se på kvantilene til dataene våre og modellen.
Ved å matche kvantilene fra prøvedataene våre med kvantilene fra en bestemt sannsynlighetsfordeling , er resultatet en samling av sammenkoblede data. Vi plotter disse dataene i et spredningsplott, kjent som et kvantil-kvantilplot eller q-q-plott. Hvis det resulterende spredningsdiagrammet er omtrent lineært, passer modellen godt for våre data.