Helningen til regresjonslinjen og korrelasjonskoeffisienten

Emely / Getty Images

Mange ganger i studiet avstatistikkdet er viktig å knytte sammenhenger mellom ulike tema. Vi vil se et eksempel på dette der helningen til regresjonslinjen er direkte relatert til korrelasjonskoeffisient . Siden disse konseptene begge involverer rette linjer, er det bare naturlig å stille spørsmålet: 'Hvordan er korrelasjonskoeffisienten og minste kvadratiske linje i slekt?'

Først skal vi se på litt bakgrunn angående begge disse temaene.

Detaljer angående korrelasjon

Det er viktig å huske detaljene knyttet til korrelasjonskoeffisienten, som er betegnet med r . Denne statistikken brukes når vi har paretsammenkoblede data, kan vi se etter trender i den totale distribusjonen av data. Noen sammenkoblede data viser et lineært eller rettlinjet mønster. Men i praksis faller dataene aldri nøyaktig langs en rett linje.

Flere ser på det samme scatterplot av sammenkoblede data ville være uenige om hvor nær det var å vise en generell lineær trend. Tross alt kan våre kriterier for dette være noe subjektive. Skalaen vi bruker kan også påvirke vår oppfatning av dataene. Av disse og flere grunner trenger vi et slags objektivt mål for å fortelle hvor nær våre sammenkoblede data er lineære. Korrelasjonskoeffisienten oppnår dette for oss.

Noen få grunnleggende fakta om r inkludere:

• Verdien av r varierer mellom et hvilket som helst reelt tall fra -1 til 1.
• Verdier av r nær 0 antyder at det er liten eller ingen lineær sammenheng mellom dataene.
• Verdier av r nær 1 antyder at det er en positiv lineær sammenheng mellom dataene. Dette betyr at som x øker det Y øker også.
• Verdier av r nær -1 betyr at det er en negativ lineær sammenheng mellom dataene. Dette betyr at som x øker det Y avtar.

Hellingen av Least Squares Line

De to siste elementene i listen ovenfor peker oss mot helningen til minste kvadraters linje med best passform. Husk at helningen til en linje er et mål på hvor mange enheter den går opp eller ned for hver enhet vi flytter til høyre. Noen ganger er dette oppgitt som stigningen av linjen delt på løpet, eller endringen i Y verdier delt på endringen i x verdier.

Generelt har rette linjer helninger som er positive, negative eller null. Hvis vi skulle undersøke våre minste kvadraters regresjonslinjer og sammenligne de tilsvarende verdiene av r , vil vi legge merke til at hver gang dataene våre har en negativ korrelasjonskoeffisient , er helningen til regresjonslinjen negativ. Tilsvarende, for hver gang vi har en positiv korrelasjonskoeffisient, er helningen til regresjonslinjen positiv.

Det bør være tydelig fra denne observasjonen at det definitivt er en sammenheng mellom fortegnet til korrelasjonskoeffisienten og helningen til minste kvadraters linje. Det gjenstår å forklare hvorfor dette er sant.

Formelen for bakken

Årsaken til sammenhengen mellom verdien av r og helningen til minste kvadraters linje har å gjøre med formelen som gir oss helningen til denne linjen. For sammenkoblede data ( x,y ) vi betegner standardavvik av x data av s_x og standardavviket til Y data av s_Y .

Formelen for skråningen en av regresjonslinjen er:

• a = r(s_Y/s_x)

Beregningen av et standardavvik innebærer å ta den positive kvadratroten av et ikke-negativt tall. Som et resultat må begge standardavvikene i formelen for skråningen være ikke-negative. Hvis vi antar at det er en viss variasjon i dataene våre, vil vi kunne se bort fra muligheten for at et av disse standardavvikene er null. Derfor vil tegnet på korrelasjonskoeffisienten være det samme som tegnet på helningen til regresjonslinjen.