Beregning av korrelasjonskoeffisienten

Illustrasjon av Hugo Lin. ThoughtCo.

Det er mange spørsmål å stille seg når man ser på et scatterplot. En av de vanligste er å lure på hvor godt en rett linje tilnærmer dataene. For å hjelpe til med å svare på dette er det en beskrivende statistikk kalt korrelasjonskoeffisienten. Vi vil se hvordan vi beregner denne statistikken.

Korrelasjonskoeffisienten

Dekorrelasjonskoeffisient, betegnet med r , forteller oss hvor tett data i en scatterplot falle langs en rett linje. Jo nærmere det den absolutte verdien av r er til en, jo bedre at dataene er beskrevet av en lineær ligning. Hvis r =1 eller r = -1 da er datasettet perfekt justert. Datasett med verdier på r nær null viser liten eller ingen rettlinjet sammenheng.

På grunn av de lange beregningene er det best å beregne r ved bruk av kalkulator eller statistisk programvare. Det er imidlertid alltid verdt å prøve å vite hva kalkulatoren din gjør når den regner. Det som følger er en prosess for å beregne korrelasjonskoeffisienten hovedsakelig for hånd, med en kalkulator som brukes for de rutinemessige aritmetiske trinnene.

Trinn for å beregne r

Vi vil begynne med å liste opp trinnene for beregning av korrelasjonskoeffisienten. Dataene vi jobber med er

Vi begynner med noen foreløpige beregninger. Mengdene fra disse beregningene vil bli brukt i påfølgende trinn av vår beregning av r :

1. Beregn x̄, den menerav alle de første koordinatene til dataene x_Jeg .
2. Beregn ȳ, gjennomsnittet av alle de andre koordinatene til dataene
3. Y_Jeg .
4. Regne ut s_x prøven standardavvik av alle de første koordinatene til dataene x_Jeg .
5. Regne ut s_Y prøvestandardavviket for alle de andre koordinatene til dataene Y_Jeg .

Bruk formelen (Med_x)_Jeg = ( x_Jeg – x̄) / s_x og beregne en standardisert verdi for hver x_Jeg .

Bruk formelen (Med_Y)_Jeg = ( Y_Jeg – ) / s_Y og beregne en standardisert verdi for hver Y_Jeg .

Multipliser tilsvarende standardiserte verdier: (Med_x)_Jeg(Med_Y)_Jeg

Legg produktene fra det siste trinnet sammen.

Del summen fra forrige trinn med n – 1, hvor n er det totale antallet poeng i vårt sett med sammenkoblede data. Resultatet av alt dette er korrelasjonskoeffisienten r .

Denne prosessen er ikke vanskelig, og hvert trinn er ganske rutinemessig, men samlingen av alle disse trinnene er ganske involvert. Beregningen av standardavviket er langtekkelig nok alene. Men beregningen av korrelasjonskoeffisienten involverer ikke bare to standardavvik, men en mengde andre operasjoner.

Et eksempel

For å se nøyaktig hvordan verdien av r er innhentet ser vi på et eksempel. Igjen er det viktig å merke seg at for praktiske bruksområder vil vi bruke kalkulatoren vår eller statistisk programvare for å beregne r for oss.

Vi begynner med en liste over sammenkoblede data: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). Gjennomsnittet av x verdier, er gjennomsnittet av 1, 2, 4 og 5 x̄ = 3. Vi har også at ȳ = 4. Standardavviket til

x verdier er s_x = 1,83 og s_Y = 2,58. Tabellen nedenfor oppsummerer de andre beregningene som trengs for r . Summen av produktene i kolonnen lengst til høyre er 2,969848. Siden det er totalt fire punkter og 4 – 1 = 3, deler vi summen av produktene på 3. Dette gir oss en korrelasjonskoeffisient på r = 2,969848/3 = 0,989949.

Tabell for eksempel på beregning av korrelasjonskoeffisient

x	Y	Medx	MedY	MedxMedY
1	1	-1,09544503	-1.161894958	1,272792057
to	3	-0,547722515	-0,387298319	0,212132009
4	5	0,547722515	0,387298319	0,212132009
5	7	1,09544503	1,161894958	1,272792057