Eksponentielle vekstfunksjoner

marekuliasz / Getty Images

Eksponentielle funksjoner forteller historiene om eksplosive endringer. De to typene eksponentielle funksjoner er eksponentiell vekst og eksponentielt forfall . Fire variabler (prosent endring, tid, mengden ved begynnelsen av tidsperioden og mengden ved slutten av tidsperioden) spiller roller i eksponentielle funksjoner. Det følgende fokuserer på bruk av eksponentielle vekstfunksjoner for å lage spådommer.

Eksponensiell vekst

Eksponentiell vekst er endringen som oppstår når et opprinnelig beløp økes med en jevn hastighet over en periode

Bruk av eksponentiell vekst i det virkelige liv:

• Verdier av boligpriser
• Verdier av investeringer
• Økt medlemskap på et populært nettsted for sosiale nettverk

Eksponentiell vekst i detaljhandelen

Edloe og Co. er avhengig av jungeltelegrafen-reklame, det opprinnelige sosiale nettverket. Femti kjøpere fortalte fem personer hver, og så fortalte hver av de nye kundene fem personer til, og så videre. Lederen registrerte veksten av butikkkunder.

• Uke 0: 50 kunder
• Uke 1: 250 kunder
• Uke 2: 1250 shoppere
• Uke 3: 6.250 kjøpere
• Uke 4: 31 250 shoppere

Først, hvordan vet du at disse dataene representerer eksponensiell vekst ? Still deg selv to spørsmål.

1. Øker verdiene? Ja
2. Viser verdiene en konsistent prosentvis økning? Ja .

Hvordan beregne prosentvis økning

Prosentvis økning: (nyere - eldre)/(eldre) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400 %

Kontroller at den prosentvise økningen vedvarer gjennom hele måneden:

Prosentvis økning: (nyere - eldre)/(eldre) = (1250 - 250)/250 = 4,00 = 400 %
Prosentvis økning: (nyere - eldre)/(eldre) = (6250 - 1250)/1250 = 4,00 = 400 %

Forsiktig - ikke forveksle eksponentiell og lineær vekst.

Følgende representerer lineær vekst:

• Uke 1: 50 kunder
• Uke 2: 100 kunder
• Uke 3: 150 kunder
• Uke 4: 200 kunder

Merk : Lineær vekst betyr et konsistent antall kunder lagt til (50 kunder i uken); eksponentiell vekst betyr en jevn prosentvis økning (400 %) av kundene.

Hvordan skrive en eksponentiell vekstfunksjon

Her er en eksponentiell vekstfunksjon:

Y = en( 1 + b)^x

• Y : Endelig beløp som gjenstår over en periode
• en : Det opprinnelige beløpet
• x : Tid
• De vekstfaktor er (1+ b ).
• Variabelen, b , er prosentvis endring i desimalform.

Fyll ut de blanke feltene:

• en = 50 kunder
• b = 4,00

Y = 50(1 + 4) ^x

Merk : Ikke fyll inn verdier for x og Y . Verdiene til x og Y vil endres gjennom hele funksjonen, men den opprinnelige mengden og prosentendringen vil forbli konstant.

Bruk funksjonen eksponentiell vekst til å lage spådommer

Anta at lavkonjunkturen, den primære driveren for kunder til butikken, vedvarer i 24 uker. Hvor mange ukentlige kunder vil butikken ha i løpet av 8^thuke?

Forsiktig, ikke doble antallet kunder i uke 4 (31 250 *2 = 62 500) og tro at det er det riktige svaret. Husk at denne artikkelen handler om eksponentiell vekst, ikke lineær vekst.

Bruk Order of Operations for å forenkle.

Y = 50(1 + 4) ^x

Y = 50(1 + 4)⁸

Y = 50(5)⁸(Parentes)

Y = 50(390 625) (eksponent)

Y = 19 531 250 (multipliser)

19 531 250 kjøpere

Eksponentiell vekst i detaljhandelsinntekter

Før lavkonjunkturen startet, lå butikkens månedlige inntekter rundt 800 000 dollar. En butikk inntekter er det totale dollarbeløpet som kunder bruker i butikken på varer og tjenester.

Edloe og Co. Inntekter

• Før resesjon: $800 000
• 1 måned etter resesjon: $880 000
• 2 måneder etter lavkonjunktur: $968 000
• 3 måneder etter resesjon: $1 171 280
• 4 måneder etter resesjon: $1 288 408

Øvelser

Bruk informasjonen om Edloe og Cos inntekter for å fullføre 1 til 7.

1. Hva er de opprinnelige inntektene?
2. Hva er vekstfaktoren?
3. Hvordan modellerer denne dataen eksponentiell vekst?
4. Skriv en eksponentiell funksjon som beskriver disse dataene.
5. Skriv en funksjon for å forutsi inntekter i den femte måneden etter starten av resesjonen.
6. Hva er inntektene i den femte måneden etter starten av resesjon ?
7. Anta at domenet til denne eksponentielle funksjonen er 16 måneder. Med andre ord, anta at lavkonjunkturen vil vare i 16 måneder. På hvilket tidspunkt vil inntektene overstige 3 millioner dollar?