Eksponentiell funksjon og forfall

I matematikk, eksponentielt forfall beskriver prosessen med å redusere et beløp med en konsistent prosentsats over en periode. Det kan uttrykkes med formelen y=a(1-b)^x hvori Y er det endelige beløpet, en er det opprinnelige beløpet, b er forfallsfaktoren, og x er hvor lang tid som har gått.

Formelen for eksponentiell forfall er nyttig i en rekke applikasjoner i den virkelige verden, spesielt for å spore inventar som brukes regelmessig i samme mengde (som mat til en skolekafeteria), og den er spesielt nyttig i sin evne til raskt å vurdere de langsiktige kostnadene bruk av et produkt over tid.

Eksponentielt forfall er forskjellig fra lineært forfall ved at forfallsfaktoren er avhengig av en prosentandel av det opprinnelige beløpet, noe som betyr at det faktiske tallet det opprinnelige beløpet kan reduseres med vil endre seg over tid, mens en lineær funksjon reduserer det opprinnelige tallet med samme beløp hver gang.

Det er også det motsatte av eksponensiell vekst , som vanligvis forekommer i aksjemarkedene der et selskaps verdi vil vokse eksponentielt over tid før de når et platå. Du kan sammenligne og kontrastere forskjellene mellom eksponentiell vekst og forfall, men det er ganske enkelt: den ene øker den opprinnelige mengden og den andre reduserer den.

Elementer i en eksponentiell forfallsformel

For å starte er det viktig å gjenkjenne formelen for eksponentiell forfall og være i stand til å identifisere hvert av dens elementer:

y = a(1-b)^x

For å forstå nytten av henfallsformelen, er det viktig å forstå hvordan hver av faktorene er definert, og begynner med uttrykket 'forfallsfaktor' - representert med bokstaven b i formelen for eksponentiell forfall – som er en prosentandel som det opprinnelige beløpet vil avta med hver gang.

Det opprinnelige beløpet her - representert ved brevet en i formelen – er mengden før forfallet skjer, så hvis du tenker på dette i praktisk forstand, vil den opprinnelige mengden være mengden epler et bakeri kjøper, og eksponentialfaktoren vil være prosentandelen epler som brukes hver time å lage paier.

Eksponenten, som i tilfelle av eksponentiell forfall alltid er tid og uttrykt med bokstaven x, representerer hvor ofte forfallet forekommer og uttrykkes vanligvis i sekunder, minutter, timer, dager eller år.

Et eksempel på eksponentiell forfall

Bruk følgende eksempel for å forstå konseptet med eksponentiell forfall i et virkelighetsscenario:

På mandag betjener Ledwiths kafeteria 5000 kunder, men tirsdag morgen melder de lokale nyhetene at restauranten ikke klarer helseinspeksjonen og har – jipp! – brudd relatert til skadedyrkontroll. Tirsdag betjener kafeteriaen 2500 kunder. Onsdag betjener kafeteriaen kun 1250 kunder. Torsdag betjener kafeteriaen sølle 625 kunder.

Som du kan se, gikk antallet kunder ned med 50 prosent hver dag. Denne typen nedgang skiller seg fra en lineær funksjon. I en lineær funksjon , ville antall kunder gå ned med samme beløp hver dag. Det opprinnelige beløpet ( en ) vil være 5000, forfallsfaktoren ( b ) vil derfor være 0,5 (50 prosent skrevet som en desimal), og verdien av tid ( x ) vil bli bestemt av hvor mange dager Ledwith ønsker å forutsi resultatene for.

Hvis Ledwith skulle spørre om hvor mange kunder han ville miste i løpet av fem dager hvis trenden fortsatte, kunne regnskapsføreren hans finne løsningen ved å koble alle tallene ovenfor inn i formelen for eksponentiell forfall for å få følgende:

y = 5000(1-.5)⁵

Løsningen kommer ut til 312 og en halv, men siden du ikke kan ha en halv kunde, ville regnskapsfører rundet tallet opp til 313 og kunne si at om fem dager kunne Ledwith forvente å miste ytterligere 313 kunder!