Eksempler på konfidensintervaller for midler

Lærer ved tavle.

Jamie Grille/Getty Images

En av hoveddelene av konklusjonsstatistikk er utviklingen av måter å regne på konfidensintervaller . Konfidensintervaller gir oss en måte å estimere en populasjon på parameter . I stedet for å si at parameteren er lik en eksakt verdi, sier vi at parameteren faller innenfor et verdiområde. Dette verdiområdet er vanligvis et estimat, sammen med en feilmargin som vi legger til og trekker fra estimatet.

Et nivå av selvtillit er knyttet til hvert intervall. Konfidensnivået gir et mål på hvor ofte, i det lange løp, metoden som brukes for å oppnå vårt konfidensintervall fanger opp den sanne populasjonsparameteren.

Det er nyttig når du lærer om statistikk for å se noen eksempler utarbeidet. Nedenfor skal vi se på flere eksempler på konfidensintervaller om et populasjonsgjennomsnitt. Vi vil se at metoden vi bruker for å konstruere et konfidensintervall om et gjennomsnitt avhenger av ytterligere informasjon om vår populasjon. Nærmere bestemt avhenger tilnærmingen vi tar av om vi kjenner populasjonsstandardavviket eller ikke.

Forklaring av problemer

Vi starter med et enkelt tilfeldig utvalg av 25 en bestemt art av salamander og måler halene deres. Gjennomsnittlig halelengde på prøven vår er 5 cm.

1. Hvis vi vet at 0,2 cm er standardavviket til halelengdene til alle salamander i populasjonen, hva er da et 90 % konfidensintervall for gjennomsnittlig halelengde til alle salamander i populasjonen?
2. Hvis vi vet at 0,2 cm er standardavviket for halelengdene til alle salamander i populasjonen, hva er da et 95 % konfidensintervall for gjennomsnittlig halelengde til alle salamander i populasjonen?
3. Hvis vi finner ut at 0,2 cm er standardavviket til halelengdene til salamanderen i vårt utvalg populasjonen, hva er da et 90 % konfidensintervall for den gjennomsnittlige halelengden til alle salamander i populasjonen?
4. Hvis vi finner at 0,2 cm er standardavviket til halelengdene til salamanderen i vårt utvalg populasjonen, hva er da et 95 % konfidensintervall for gjennomsnittlig halelengde til alle salamander i populasjonen?

Diskusjon av problemene

Vi begynner med å analysere hvert av disse problemene. I de to første problemene vi kjenne verdien av populasjonsstandardavviket . Forskjellen mellom disse to problemene er at nivået av selvtillit er høyere i #2 enn hva det er for #1.

I de to andre problemene populasjonsstandardavviket er ukjent . For disse to problemene vil vi estimere denne parameteren med prøven standardavvik . Som vi så i de to første problemene, har vi også her ulike nivåer av selvtillit.

Løsninger

Vi vil beregne løsninger for hvert av problemene ovenfor.

1. Siden vi kjenner populasjonens standardavvik, vil vi bruke en tabell med z-score. Verdien av Med som tilsvarer et 90 % konfidensintervall er 1,645. Ved å bruke formel for feilmarginen vi har et konfidensintervall på 5 – 1,645(0,2/5) til 5 + 1,645(0,2/5). (5-en i nevneren her er fordi vi har tatt kvadratroten av 25). Etter å ha utført aritmetikken har vi 4,934 cm til 5,066 cm som et konfidensintervall for populasjonsgjennomsnittet.
2. Siden vi kjenner populasjonens standardavvik, vil vi bruke en tabell med z-score. Verdien av Med som tilsvarer et 95 % konfidensintervall er 1,96. Ved å bruke formelen for feilmarginen har vi et konfidensintervall på 5 – 1,96(0,2/5) til 5 + 1,96(0,2/5). Etter å ha utført aritmetikken har vi 4,922 cm til 5,078 cm som et konfidensintervall for populasjonsgjennomsnittet.
3. Her kjenner vi ikke populasjonsstandardavviket, kun utvalgets standardavvik. Derfor vil vi bruke en tabell med t-score. Når vi bruker en tabell av t score vi trenger for å vite hvor mange frihetsgrader vi har. I dette tilfellet er det 24 frihetsgrader, som er én mindre enn prøvestørrelsen på 25. Verdien av t som tilsvarer et 90 % konfidensintervall er 1,71. Ved å bruke formelen for feilmarginen har vi et konfidensintervall på 5 – 1,71(0,2/5) til 5 + 1,71(0,2/5). Etter å ha utført aritmetikken har vi 4,932 cm til 5,068 cm som et konfidensintervall for populasjonsgjennomsnittet.
4. Her kjenner vi ikke populasjonsstandardavviket, kun utvalgets standardavvik. Dermed vil vi igjen bruke en tabell med t-score. Det er 24 frihetsgrader, som er én mindre enn prøvestørrelse på 25. Verdien av t som tilsvarer et 95 % konfidensintervall er 2,06. Ved å bruke formelen for feilmarginen har vi et konfidensintervall på 5 – 2,06(0,2/5) til 5 + 2,06(0,2/5). Etter å ha utført aritmetikken har vi 4,912 cm til 5,082 cm som et konfidensintervall for populasjonsgjennomsnittet.

Diskusjon av løsningene

Det er et par ting å merke seg når du sammenligner disse løsningene. Den første er at i hvert tilfelle etter hvert som tillitsnivået vårt økte, desto større er verdien av Med eller t som vi endte opp med. Grunnen til dette er at for å være mer sikre på at vi faktisk fanget populasjonsgjennomsnittet i vårt konfidensintervall, trenger vi et bredere intervall.

Den andre funksjonen å merke seg er at for et bestemt konfidensintervall, de som bruker t er bredere enn de med Med . Grunnen til dette er at a t fordeling har større variasjon i halene enn en standard normalfordeling.

Nøkkelen til å korrigere løsninger på denne typen problemer er at hvis vi kjenner standardavviket for befolkningen bruker vi en tabell over Med -score. Hvis vi ikke kjenner populasjonens standardavvik så bruker vi en tabell over t score.