Beregner dreiemoment

En kraft påføres en partikkel som er fri til å rotere rundt en fast akse. Kraft er vist dekomponert i perpendikulære og parallelle komponenter. Dreiemoment peker utover fra siden og har størrelsen r * F_perp = r * F * sin(theta). StradivariusTV/WikiMedia Commons

Når man studerer hvordan objekter roterer, blir det raskt nødvendig å finne ut hvordan en gitt kraft resulterer i en endring i rotasjonsbevegelsen. Tendensen til en kraft til å forårsake eller endre rotasjonsbevegelse kalles dreiemoment , og det er et av de viktigste konseptene å forstå for å løse rotasjonsbevegelsessituasjoner.

Betydningen av dreiemoment

Dreiemoment (også kalt moment - for det meste av ingeniører) beregnes ved å multiplisere kraft og avstand. De SI-enheter av dreiemoment er newton-meter, eller N*m (selv om disse enhetene er de samme som Joule, dreiemoment er ikke arbeid eller energi, så bør bare være newton-meter).

I beregninger er dreiemoment representert av den greske bokstaven tau: t .

Dreiemoment er en vektor mengde, noe som betyr at den har både en retning og en størrelse. Dette er ærlig talt en av de vanskeligste delene av å jobbe med dreiemoment fordi det beregnes ved hjelp av et vektorprodukt, noe som betyr at du må bruke høyrehåndsregelen. I dette tilfellet, ta høyre hånd og krøll fingrene på hånden i rotasjonsretningen forårsaket av kraften. Tommelen på høyre hånd peker nå i retning av dreiemomentvektoren. (Dette kan av og til føles litt dumt, når du holder hånden oppe og pantomimerer for å finne ut resultatet av en matematisk ligning, men det er den beste måten å visualisere retningen til vektoren på.)

Vektorformelen som gir dreiemomentvektoren t er:

t = r × F

Vektoren r er posisjonsvektoren med hensyn til en origo på rotasjonsaksen (Denne aksen er t på grafikken). Dette er en vektor med en størrelse på avstanden fra der kraften påføres rotasjonsaksen. Den peker fra rotasjonsaksen mot punktet der kraften påføres.

Størrelsen på vektoren beregnes basert på Jeg , som er vinkelforskjellen mellom r og F , ved hjelp av formelen:

t = rF uten( Jeg )

Spesielle tilfeller av dreiemoment

Et par nøkkelpunkter om ligningen ovenfor, med noen referanseverdier på Jeg :

• Jeg = 0° (eller 0 radianer) - Kraftvektoren peker ut i samme retning som r . Som du kanskje gjetter, er dette en situasjon der kraften ikke vil forårsake noen rotasjon rundt aksen ... og matematikken bekrefter dette. Siden sin(0) = 0, resulterer denne situasjonen i t = 0.
• Jeg = 180° (eller Pi radianer) - Dette er en situasjon der kraftvektoren peker direkte inn r . Igjen, å skyve mot rotasjonsaksen vil heller ikke føre til noen rotasjon, og nok en gang støtter matematikken denne intuisjonen. Siden sin(180°) = 0, er verdien av dreiemomentet igjen t = 0.
• Jeg = 90° (eller Pi /2 radianer) - Her er kraftvektoren vinkelrett på posisjonsvektoren. Dette virker som den mest effektive måten du kan skyve på objektet for å få en økning i rotasjon, men støtter matematikken dette? Vel, sin(90°) = 1, som er den maksimale verdien som sinusfunksjonen kan nå, noe som gir et resultat av t = rF . Med andre ord, en kraft påført i en hvilken som helst annen vinkel vil gi mindre dreiemoment enn når den påføres ved 90 grader.
• Det samme argumentet som ovenfor gjelder tilfeller av Jeg = -90° (eller - Pi /2 radianer), men med en verdi på sin(-90°) = -1 som resulterer i maksimalt dreiemoment i motsatt retning.

Momenteksempel

La oss se på et eksempel der du bruker en vertikal kraft nedover, for eksempel når du prøver å løsne mutterne på et flatt dekk ved å tråkke på skrunøkkelen. I denne situasjonen er den ideelle situasjonen å ha skrunøkkelen perfekt horisontal, slik at du kan tråkke på enden av den og få maksimalt dreiemoment. Det går dessverre ikke. I stedet passer skrunøkkelen på hjulmutterne slik at den er i 15 % helling i forhold til horisontalen. Tappnøkkelen er 0,60 m lang til slutten, hvor du bruker hele vekten på 900 N.

Hva er størrelsen på dreiemomentet?

Hva med retning?: Ved å bruke 'venstre-løs, høyre-stram'-regelen, vil du ønske å ha stangmutteren til å rotere til venstre - mot klokken - for å løsne den. Ved å bruke høyre hånd og krølle fingrene mot klokken, stikker tommelen ut. Så retningen på dreiemomentet er borte fra dekkene ... som også er retningen du vil at mutterne til slutt skal gå.

For å begynne å beregne verdien av dreiemomentet, må du innse at det er et litt misvisende punkt i oppsettet ovenfor. (Dette er et vanlig problem i disse situasjonene.) Legg merke til at de 15 % nevnt ovenfor er stigningen fra horisontalen, men det er ikke vinkelen Jeg . Vinkelen mellom r og F må beregnes. Det er en stigning på 15° fra horisontalplanet pluss en avstand på 90° fra horisontal til den nedadgående kraftvektoren, noe som resulterer i totalt 105° som verdien av Jeg .

Det er den eneste variabelen som krever oppsett, så med den på plass tildeler vi bare de andre variabelverdiene:

• Jeg = 105°
• r = 0,60 m
• F = 900 N

t = rF uten( Jeg ) =
(0,60 m)(900 N)sin(105°) = 540 × 0,097 Nm = 520 Nm

Merk at svaret ovenfor innebar å opprettholde bare to betydelige tall , så den er avrundet.

Dreiemoment og vinkelakselerasjon

Ovennevnte ligninger er spesielt nyttige når det er en enkelt kjent kraft som virker på et objekt, men det er mange situasjoner der en rotasjon kan være forårsaket av en kraft som ikke lett kan måles (eller kanskje mange slike krefter). Her blir dreiemomentet ofte ikke beregnet direkte, men kan i stedet beregnes med referanse til totalen vinkelakselerasjon , en , som gjenstanden gjennomgår. Dette forholdet er gitt av følgende ligning:

• S t - Netto summen av alt dreiemoment som virker på objektet
• Jeg - den treghetsmoment , som representerer objektets motstand mot en endring i vinkelhastighet
• en - vinkelakselerasjon