Bruke signifikante tall i presis måling

CC BY 2.0/Flickr/US Army RDECOM

Når du foretar en måling, a forsker kan bare nå et visst presisjonsnivå, begrenset enten av verktøyene som brukes eller situasjonens fysiske natur. Det mest åpenbare eksemplet er måling av avstand.

Tenk på hva som skjer når du måler avstanden et objekt beveget seg ved hjelp av et målebånd (i metriske enheter). Målebåndet er sannsynligvis brutt ned i de minste enhetene på millimeter. Derfor er det ingen måte du kan måle med en presisjon større enn en millimeter. Hvis objektet beveger seg 57,215493 millimeter, kan vi derfor bare si sikkert at det beveget seg 57 millimeter (eller 5,7 centimeter eller 0,057 meter, avhengig av preferansen i den situasjonen).

Generelt er dette nivået av avrunding greit. Få den nøyaktige bevegelsen til et objekt av normal størrelse ned til en millimeter ville vært en ganske imponerende prestasjon, faktisk. Tenk deg å prøve å måle bevegelsen til en bil til millimeter, og du vil se at dette generelt sett ikke er nødvendig. I tilfeller der slik presisjon er nødvendig, vil du bruke verktøy som er mye mer sofistikert enn et målebånd.

Antall meningsfulle tall i en måling kalles antall betydelige tall av nummeret. I det tidligere eksemplet ville svaret på 57 millimeter gi oss 2 signifikante tall i målingen vår.

Nuller og betydelige tall

Tenk på tallet 5200.

Med mindre annet er fortalt, er det generelt vanlig praksis å anta at bare de to sifrene som ikke er null er signifikante. Det antas med andre ord at dette tallet var avrundet til nærmeste hundre.

Men hvis tallet er skrevet som 5200,0, vil det ha fem signifikante tall. Desimaltegnet og følgende null legges bare til hvis mål er nøyaktig til det nivået.

På samme måte ville tallet 2,30 ha tre signifikante tall, fordi nullen på slutten er en indikasjon på at forskeren som gjorde målingen gjorde det på det presisjonsnivået.

Noen lærebøker har også innført konvensjonen om at et desimaltegn på slutten av et helt tall også indikerer betydelige tall. Så 800. ville ha tre signifikante tall mens 800 bare har ett signifikant tall. Igjen er dette noe varierende avhengig av læreboken.

Følgende er noen eksempler på forskjellige antall betydelige figurer, for å bidra til å styrke konseptet:

En betydelig figur
4
900
0,00002
To viktige tall
3.7
0,0059
68 000
5.0
Tre viktige figurer
9,64
0,00360
99 900
8.00
900. (i noen lærebøker)

Matematikk med betydelige tall

Vitenskapelige figurer gir noen andre regler for matematikk enn det du blir introdusert for i matematikktimen. Nøkkelen til å bruke signifikante tall er å være sikker på at du opprettholder samme presisjonsnivå gjennom hele beregningen. I matematikk beholder du alle tallene fra resultatet, mens du i vitenskapelig arbeid ofte runder basert på de signifikante tallene som er involvert.

Når du legger til eller trekker fra vitenskapelige data, er det kun siste siffer (sifferet lengst til høyre) som betyr noe. La oss for eksempel anta at vi legger til tre forskjellige avstander:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Det første leddet i tilleggsoppgaven har fire signifikante sifre, det andre har åtte, og det tredje har bare to. Presisjonen, i dette tilfellet, bestemmes av det korteste desimaltegnet. Så du vil utføre beregningen din, men i stedet for 15.2699834 vil resultatet være 15.3, fordi du vil runde av til tiendedeler (det første stedet etter desimaltegnet), fordi mens to av dine målinger er mer presise den tredje kan ikke fortelle deg noe mer enn tiendedeler, så resultatet av dette tilleggsproblemet kan bare være så nøyaktig også.

Merk at det endelige svaret ditt, i dette tilfellet, har tre signifikante tall, mens ingen av startnumrene dine gjorde det. Dette kan være veldig forvirrende for nybegynnere, og det er viktig å være oppmerksom på egenskapen addisjon og subtraksjon.

Når man multipliserer eller dividerer vitenskapelige data, derimot, har antallet signifikante tall betydning. Å multiplisere signifikante tall vil alltid resultere i en løsning som har de samme signifikante tallene som de minste signifikante tallene du startet med. Så til eksemplet:

5,638 x 3,1

Den første faktoren har fire signifikante tall og den andre faktoren har to signifikante tall. Løsningen din vil derfor ende opp med to betydelige tall. I dette tilfellet vil det være 17 i stedet for 17,4778. Du utfører beregningen deretter avrund løsningen til riktig antall signifikante tall. Den ekstra presisjonen i multiplikasjonen vil ikke skade, du vil bare ikke gi et falskt presisjonsnivå i den endelige løsningen.

Bruke vitenskapelig notasjon

Fysikk omhandler verdensrom fra størrelsen mindre enn et proton til størrelsen på universet. Som sådan ender du opp med å håndtere noen veldig store og veldig små tall. Generelt er bare de første få av disse tallene signifikante. Ingen kommer til å (eller i stand til å) måle universets bredde til nærmeste millimeter.

Merk

Denne delen av artikkelen omhandler manipulering av eksponentielle tall (dvs. 105, 10-8, etc.), og det antas at leseren har en forståelse av disse matematiske begrepene. Selv om emnet kan være vanskelig for mange studenter, er det utenfor rammen av denne artikkelen å ta opp.

For å manipulere disse tallene enkelt, bruker forskere vitenskapelig notasjon . De signifikante tallene er listet opp, deretter multiplisert med ti til nødvendig potens. Lysets hastighet skrives som: [blackquote shade=no]2,997925 x 108 m/s

Det er 7 signifikante tall og dette er mye bedre enn å skrive 299 792 500 m/s.

Merk

Lyshastigheten skrives ofte som 3,00 x 108 m/s, i så fall er det bare tre signifikante tall. Igjen er dette et spørsmål om hvilket presisjonsnivå som er nødvendig.

Denne notasjonen er veldig nyttig for multiplikasjon. Du følger reglene beskrevet tidligere for å multiplisere de signifikante tallene, beholde det minste antallet signifikante tall, og deretter multiplisere størrelsene, som følger den additive regelen for eksponenter. Følgende eksempel skal hjelpe deg med å visualisere det:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Produktet har bare to signifikante tall og størrelsesordenen er 107 fordi 103 x 104 = 107

Å legge til vitenskapelig notasjon kan være veldig enkelt eller veldig vanskelig, avhengig av situasjonen. Hvis termene er av samme størrelsesorden (dvs. 4,3005 x 105 og 13,5 x 105), følger du addisjonsreglene som er diskutert tidligere, og beholder den høyeste plassverdien som avrundingsplassering og holder størrelsen den samme, som i det følgende eksempel:

4,3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Hvis størrelsesordenen er forskjellig, må du imidlertid jobbe litt for å få størrelsene like, som i følgende eksempel, hvor det ene leddet er på størrelsesorden 105 og det andre leddet er på størrelsesordenen 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
eller
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Begge disse løsningene er de samme, noe som resulterer i 9 700 000 som svar.

Tilsvarende er svært små tall ofte skrevet i vitenskapelig notasjon også, men med en negativ eksponent på størrelsen i stedet for den positive eksponenten. Massen til et elektron er:

9,10939 x 10-31 kg

Dette vil være en null, etterfulgt av et desimaltegn, etterfulgt av 30 nuller, deretter serien med 6 signifikante tall. Ingen ønsker å skrive det ut, så vitenskapelig notasjon er vår venn. Alle reglene skissert ovenfor er de samme, uavhengig av om eksponenten er positiv eller negativ.

Grensene for betydelige tall

Signifikante tall er et grunnleggende middel som forskere bruker for å gi et mål på presisjon til tallene de bruker. Den involverte avrundingsprosessen introduserer likevel et mål på feil i tallene, og i beregninger på svært høyt nivå er det andre statistiske metoder som blir brukt. For praktisk talt all fysikk som vil bli utført i klasserommene på videregående og høyskolenivå, vil riktig bruk av signifikante tall være tilstrekkelig for å opprettholde det nødvendige presisjonsnivået.

Siste kommentarer

Betydelige tall kan være en betydelig snublestein når de først introduseres for studenter fordi det endrer noen av de grunnleggende matematiske reglene som de har blitt undervist i i årevis. Med signifikante tall, for eksempel 4 x 12 = 50.

På samme måte kan introduksjonen av vitenskapelig notasjon til elever som kanskje ikke er helt komfortable med eksponenter eller eksponentielle regler også skape problemer. Husk at dette er verktøy som alle som studerer realfag måtte lære på et tidspunkt, og reglene er faktisk veldig grunnleggende. Problemet er nesten helt å huske hvilken regel som brukes på hvilket tidspunkt. Når legger jeg til eksponenter og når trekker jeg dem fra? Når flytter jeg desimaltegnet til venstre og når til høyre? Hvis du fortsetter å øve på disse oppgavene, vil du bli bedre på dem til de blir en annen natur.

Til slutt kan det være vanskelig å opprettholde riktige enheter. Husk at du ikke direkte kan legge til centimeter og meter , for eksempel, men må først konvertere dem til samme skala. Dette er en vanlig feil for nybegynnere, men som resten er det noe som lett kan overvinnes ved å senke farten, være forsiktig og tenke på hva du gjør.