Hva er kalkulus? Definisjon og praktiske anvendelser

Matematikkens gren studerer endringshastigheter

Bildekilde / Getty Images

Calculus er en gren av matematikk som involverer studiet av endringshastigheter. Før kalkulus ble oppfunnet, var all matematikk statisk: Den kunne bare hjelpe å beregne objekter som var helt stille. Men universet er i konstant bevegelse og endring. Ingen objekter – fra stjernene i rommet til subatomære partikler eller celler i kroppen – er alltid i ro. Faktisk beveger omtrent alt i universet seg konstant. Kalkulus bidro til å bestemme hvordan partikler, stjerner og materie faktisk beveger seg og endrer seg i sanntid.

Calculus brukes i en rekke felt som du vanligvis ikke ville tro ville gjøre bruk av konseptene. Blant dem er fysikk, ingeniørfag, økonomi, statistikk og medisin. Calculus brukes også i så forskjellige områder som romfart, samt bestemme hvordan medisiner samhandler med kroppen, og til og med hvordan man bygger tryggere strukturer. Du vil forstå hvorfor kalkulus er nyttig på så mange områder hvis du vet litt om historien og hva den er designet for å gjøre og måle.

Viktige ting: Grunnleggende teorem i kalkulen

• Kalkulus er studiet av endringshastigheter.
• Gottfried Leibniz og Isaac Newton, matematikere fra 1600-tallet, oppfant begge kalkulus uavhengig av hverandre. Newton oppfant det først, men Leibniz skapte notasjonene som matematikere bruker i dag.
• Det finnes to typer kalkulus: Differensialregning bestemmer endringshastigheten til en mengde, mens integralregning finner mengden der endringshastigheten er kjent.

Hvem oppfant kalkulus?

Calculus ble utviklet i siste halvdel av 1600-tallet av to matematikere, Gottfried Leibniz og Isaac Newton . Newton utviklet først kalkulus og brukte den direkte til forståelsen av fysiske systemer. Uavhengig utviklet Leibniz notasjonene som ble brukt i kalkulus. Enkelt sagt, mens grunnleggende matematikk bruker operasjoner som pluss, minus, ganger og divisjon (+, -, x og ÷), bruker kalkulus operasjoner som bruker funksjoner og integraler å beregne endringsrater.

Disse verktøyene tillot Newton, Leibniz og andre matematikere som fulgte etter å beregne ting som den nøyaktige stigningstallet til en kurve til enhver tid. Historien om matematikk forklarer viktigheten av Newtons grunnleggende teorem for kalkulus:

'I motsetning til den statiske geometrien til grekerne, tillot kalkulus matematikere og ingeniører å forstå bevegelsen og den dynamiske endringen i den skiftende verdenen rundt oss, slik som banene til planeter, bevegelsen til væsker, etc.'

Ved å bruke kalkulus kunne forskere, astronomer, fysikere, matematikere og kjemikere nå kartlegge banen til planetene og stjernene, samt banen til elektroner og protoner på atomnivå.

Differensial vs. integralregning

Det er to grener av kalkulus: differensial- og integralregning. 'Differensialregning studerer derivat- og integralregning studier ... integralen,' bemerker Massachusetts Institute of Technology. Men det er mer enn det. Differensialregning bestemmer endringshastigheten til en mengde. Den undersøker endringshastighetene for skråninger og kurver.

Denne grenen er opptatt av studiet av endringshastigheten til funksjoner med hensyn til deres variabler, spesielt gjennom bruk av derivater og differensialer. Den deriverte er helningen til en linje på en graf. Du finner helningen til en linje ved å beregne stige over løpet .

integralregning , derimot, søker å finne mengden der endringshastigheten er kjent. Denne grenen fokuserer på konsepter som hellinger av tangentlinjer og hastigheter. Mens differensialregning fokuserer på selve kurven, angår integralregning seg selv med rommet eller arealet under kurven. Integralregning brukes til å finne den totale størrelsen eller verdien, for eksempel lengder, arealer og volumer.

Calculus spilte en integrert rolle i utvikling av navigasjon på 1600- og 1700-tallet fordi det tillot sjømenn å bruke månens posisjon til å nøyaktig bestemme lokal tid. For å kartlegge sin posisjon til sjøs, trengte navigatørene å kunne måle både tid og vinkler med nøyaktighet. Før utviklingen av kalkulus kunne skipsnavigatører og kapteiner ikke gjøre noe av det.

Kalkulus – både avledet og integral – bidro til å forbedre forståelsen av dette viktige konseptet når det gjelder jordens kurve, avstanden skip måtte reise rundt en kurve for å komme til et bestemt sted, og til og med justeringen av jorden, hav , og skip i forhold til stjernene.

Praktiske applikasjoner

Calculus har mange praktiske anvendelser i det virkelige liv. Noen av begreper som bruker kalkulus inkluderer bevegelse, elektrisitet, varme, lys, harmoniske, akustikk og astronomi. Calculus brukes i geografi, datasyn (som for autonom kjøring av biler), fotografering, kunstig intelligens, robotikk, videospill og til og med filmer. Kalkulus brukes også til å beregne hastigheten på radioaktivt forfall i kjemi, og til og med for å forutsi fødsels- og dødsrater, så vel som i studiet av gravitasjon og planetbevegelse, væskestrøm, skipsdesign, geometriske kurver og broteknikk.

I fysikk, for eksempel, brukes kalkulus til å hjelpe med å definere, forklare og beregne bevegelse, elektrisitet, varme, lys, harmoniske, akustikk, astronomi og dynamikk. Einsteins relativitetsteori er avhengig av kalkulus, et felt innen matematikk som også hjelper økonomer å forutsi hvor mye profitt et selskap eller en industri kan tjene på. Og i skipsbygging , har kalkulering blitt brukt i mange år for å bestemme både kurven til skipets skrog (ved hjelp av differensialregning), så vel som arealet under skroget (ved bruk av integralregning), og til og med i den generelle utformingen av skip.

I tillegg brukes kalkulus for å sjekke svar for ulike matematiske disipliner som statistikk, analytisk geometri og algebra.

Regning i økonomi

Økonomer bruker kalkulus for å forutsi tilbud, etterspørsel og maksimal potensiell fortjeneste. Tilbud og etterspørsel er tross alt i hovedsak kartlagt på en kurve - og en stadig skiftende kurve på det.

Økonomer bruker kalkulus for å bestemme priselastisitet i etterspørselen . De omtaler den stadig skiftende tilbud- og etterspørselskurven som 'elastisk', og handlingene til kurven som 'elastisitet.' For å beregne et eksakt mål på elastisitet på et bestemt punkt på en tilbuds- eller etterspørselskurve, må du tenke på uendelig små endringer i prisen og som et resultat inkorporere matematiske derivater i elastisitetsformlene dine. Calculus lar deg bestemme spesifikke punkter på den stadig skiftende tilbud- og etterspørselskurven.

Kilde

'Calculus Summary.' Massachusetts Institute of Technology, 10. januar 2000, Cambridge, MA.