Forutinntatte og partiske estimatorer

Monty Rakusen / Getty Images

Et av målene tilinferensiell statistikker å anslå ukjent populasjon parametere . Denne estimeringen utføres ved å konstruere konfidensintervaller fra statistiske prøver. Et spørsmål blir: Hvor god en estimator har vi? Med andre ord, hvor nøyaktig er vår statistiske prosess, i det lange løp, for å estimere populasjonsparameteren vår. En måte å bestemme verdien av en estimator på er å vurdere om den er objektiv. Denne analysen krever at vi finner forventet verdi av vår statistikk.

Parametre og statistikk

Vi starter med å vurdere parametere og statistikk. Vi tar for oss tilfeldige variabler fra en kjent type distribusjon, men med en ukjent parameter i denne fordelingen. Denne parameteren kan være en del av en populasjon, eller den kan være en del av en sannsynlighetstetthetsfunksjon. Vi har også en funksjon av våre tilfeldige variabler, og dette kalles en statistikk. Statistikken (X₁, X_to, . . . , X_n) estimerer parameteren T, og derfor kaller vi den en estimator av T.

Forutinntatte og partiske estimatorer

Vi definerer nå objektive og partiske estimatorer. Vi ønsker at estimatoren vår skal matche parameteren vår på lang sikt. I mer presist språk vil vi at den forventede verdien av statistikken vår skal være lik parameteren. Hvis dette er tilfelle, så sier vi at vår statistikk er en objektiv estimator av parameteren.

Hvis en estimator ikke er en upartisk estimator, så er den en partisk estimator. Selv om en partisk estimator ikke har en god justering av den forventede verdien med parameteren, er det mange praktiske tilfeller når en partisk estimator kan være nyttig. Et slikt tilfelle er når et pluss fire konfidensintervall brukes til å konstruere et konfidensintervall for en populasjonsandel.

Eksempel på midler

For å se hvordan denne ideen fungerer, vil vi undersøke et eksempel som gjelder gjennomsnittet. Statistikken

(X₁+ X_to+ . . . + X_n)/n

er kjent som prøvegjennomsnittet. Vi antar at de tilfeldige variablene er et tilfeldig utvalg fra samme fordeling med gjennomsnittlig μ. Dette betyr at forventet verdi for hver tilfeldig variabel er μ.

Når vi beregner den forventede verdien av statistikken vår, ser vi følgende:

TIDLIGERE₁+ X_to+ . . . + X_n)/n] = (E[X₁] + E [X_to] +. . . + E [X_n])/n = (nE[X₁])/n = E[X₁] = m.

Siden den forventede verdien av statistikken samsvarer med parameteren den estimerte, betyr dette at utvalgets gjennomsnitt er en objektiv estimator for populasjonsgjennomsnittet.