Treghetsøyeblikksformler

De treghetsmoment av et objekt er en numerisk verdi som kan beregnes for ethvert stivt legeme som gjennomgår en fysisk rotasjon rundt en fast akse. Det er ikke bare basert på den fysiske formen til objektet og dets fordeling av masse, men også den spesifikke konfigurasjonen av hvordan objektet roterer. Så det samme objektet som roterer på forskjellige måter ville ha et annet treghetsmoment i hver situasjon.

01 av 11

Generell formel

Den generelle formelen for å utlede treghetsmomentet. Andrew Zimmerman Jones

Den generelle formelen representerer den mest grunnleggende konseptuelle forståelsen av treghetsmomentet. I utgangspunktet, for ethvert roterende objekt, øyeblikket av treghet kan beregnes ved å ta avstanden til hver partikkel fra rotasjonsaksen ( r i ligningen), kvadrere denne verdien (det er r ^tosikt), og multiplisere det ganger masse av den partikkelen. Du gjør dette for alle partiklene som utgjør det roterende objektet og legger deretter disse verdiene sammen, og det gir treghetsmomentet.

Konsekvensen av denne formelen er at det samme objektet får et annet treghetsmomentverdi, avhengig av hvordan det roterer. En ny rotasjonsakse ender opp med en annen formel, selv om den fysiske formen til objektet forblir den samme.

Denne formelen er den mest 'brute force'-tilnærmingen til å beregne treghetsmomentet. De andre formlene som tilbys er vanligvis mer nyttige og representerer de vanligste situasjonene fysikere støter på.

02 av 11

Omfattende formel

Den generelle formelen er nyttig hvis objektet kan behandles som en samling av diskrete punkter som kan legges sammen. For et mer forseggjort objekt kan det imidlertid være nødvendig å søke kalkulus å ta integralet over et helt volum. Variabelen r er radiusen vektor fra punktet til rotasjonsaksen. Formelen s ( r ) er massetetthetsfunksjonen ved hvert punkt r:

I-sub-P er lik summen av i fra 1 til N av mengden m-sub-i ganger r-sub-i i annen.

03 av 11

Solid sfære

En solid kule som roterer på en akse som går gjennom midten av kulen, med masse M og radius R , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (2/5) MR ^to

04 av 11

Hul tynnvegget kule

En hul kule med en tynn, ubetydelig vegg som roterer på en akse som går gjennom midten av kulen, med masse M og radius R , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (2/3) MR ^to

05 av 11

Solid sylinder

En solid sylinder som roterer på en akse som går gjennom midten av sylinderen, med masse M og radius R , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (1/2) MR ^to

06 av 11

Hul tynnvegget sylinder

En hul sylinder med en tynn, ubetydelig vegg som roterer på en akse som går gjennom midten av sylinderen, med masse M og radius R , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

jeg = MR ^to

07 av 11

Hul sylinder

En hul sylinder med roterende på en akse som går gjennom midten av sylinderen, med masse M , indre radius R ₁, og ytre radius R _to, har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (1/2) M ( R ₁^to+ R _to^to)

Merk: Hvis du tok denne formelen og satte R ₁= R _to= R (eller, mer passende, tok den matematiske grensen som R ₁og R _tonærme seg en felles radius R ), vil du få formelen for treghetsmomentet til en hul tynnvegget sylinder.

08 av 11

Rektangulær plate, akse gjennom senter

En tynn rektangulær plate som roterer på en akse som er vinkelrett på midten av platen, med masse M og sidelengder en og b , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (1/12) M ( en ^to+ b ^to)

09 av 11

Rektangulær plate, akse langs kanten

En tynn rektangulær plate, roterende på en akse langs den ene kanten av platen, med masse M og sidelengder en og b , hvor en er avstanden vinkelrett på rotasjonsaksen, har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (1/3) Og ^to

10 av 11

Slank stang, akse gjennom senter

En slank stang som roterer på en akse som går gjennom midten av stangen (vinkelrett på lengden), med masse M og lengde L , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (1/12) ML ^to

11 av 11

Slank stang, akse gjennom den ene enden

En slank stang som roterer på en akse som går gjennom enden av stangen (vinkelrett på lengden), med masse M og lengde L , har et treghetsmoment bestemt av formelen:

I = (1/3) ML ^to